ベクトル解析インデックス

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ベクトル解析は、線形代数と微分積分学の融合である。

各章は独立している。




第0章(S) 参考

□ 直交変換行列の行列式は1である
□ 四面体の体積を行列式で表す

第*章(Z) ガウスの定理とストークスの定理

□ ベクトル解析の基本(grad、div、rot、ベクトル積)
□ 「曲線に沿う線積分」の計算

□ 「曲面積」の計算(絵具のパラドクス)
□ 「面積分」の計算

□ 「ストークスの定理」の証明(三角形ver)
□ 「ガウスの定理」の証明(四面体ver)

第*章(Z) ストークスの定理を微分形式で記述する

□ 微分形式
□ 外微分、ポアンカレの補題

□ 微分形式の変数変換
□ 微分形式の積分

□ 流量の面積分は3変数2-形式で表せる
□ 一般化されたストークスの定理

第*章(Z) テンソル

□ アインシュタインの規約(共変ベクトル、反変ベクトル)
□ 共変テンソル、反変テンソル
□ 混合テンソル
※ 共変性と反変性(視覚的な理解)

□ テンソル積(共変性、反変性)
□ テンソルの別定義

□ テンソルの縮約
□ 対称性と交代性は座標変換に関して不変

□ 基本テンソル
□ 指標の上下

□ 曲線座標系
□ ベクトル場、テンソル場
□ クリストフェル記号

第*章(Z) 一般化されたテンソル積

□ 双対基底(一意性)

□ テンソル積の基本(ベクトル空間ver)
□ テンソル積の性質
□ 3つ以上のテンソル積

□ p階反変テンソル、p階共変テンソル、混合テンソル
□ 基底変換行列〜その1(双対基底の変換)
□ 基底変換行列〜その2(テンソル空間の座標変換)