初等微分幾何インデックス

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曲面の取り扱い方には主に次のような方法がある。

(*1) レベル集合としての曲面

(*2) パラメータ付き曲面

(*3) ユークリッド空間上の多様体

(*4) ハウスドルフ空間上の多様体

微分幾何インデックスではこれらの曲面すべてについて議論する。

これにより、上記の曲面が本質的にはほぼ同じ内容であることが理解できるであろう。




第0章(S) 参考(ベクトル積)

□ ベクトル積〜その1
□ ベクトル積〜その2

□ 対称行列の対角化
□ 回転行列(座標の回転、ベクトルの回転)

第1章(A) 微分写像(方向微分の一般化)

□ 滑らかな関数
□ 始点をもつベクトル
□ 滑らかなベクトル場
□ 微分写像

※ 演算子としてのベクトル
※ 演算子としてのベクトル場

第2章(B) 色々な曲面

□ パラメータ付き曲面、正則曲面
□ チャート(局所座標)をもつ曲面
□ 多様体
□ レベル曲面

□ 曲面上のベクトル場
□ f:M→Rの微分

□ 接空間、接ベクトル場
□ 曲面の向きづけ

※ ハウスドルフ空間の場合はどうするか?〜その1
※ ハウスドルフ空間の場合はどうするか?〜その2

第3章(C) ベクトル場

□ 方向微分〜その1(関数)
□ 方向微分〜その2(ベクトル場)

□ ワインガルテン写像(W(v)・vは加速度ベクトルの法成分)
□ ワインガルテン写像(自己随伴)