1変数ベクトル値関数の微分

サイトのTOP→理系インデックス
微分積分のTOP→微分積分インデックス





注意

以下では の元を縦ベクトルで表す。

つまり、x∈ は次のように表される。



( 上式において、添え字の t はベクトルの縦横を引っくり返すことを意味する )

このようにおくと、行列によって写像を定義できる。

つまり、A を m×n行列とすると、次のように写像を定義できる。

ちなみに、上記の写像は線形写像である。

線形写像については線形代数を参照。

ただし、以下では線形代数の知識は必要ない。

定義 ( 1変数ベクトル値関数の微分 )

I を の開区間とする。

f:I→ を関数とする。

次の極限が存在するとする。



このとき、「 f は t において微分可能である 」 という。

c を 『 f の t における微分係数 』 という。

また、c を次のように表す。

以下では(*1)を次のように表す。

むろん、c∈ である。

定義 ( 1変数ベクトル値関数の導関数 )

I を の開区間とする。

f:I→ を関数とする。

f は I 上で微分可能であるとする。

つまり、f は任意の t∈I において微分可能であるとする。

このとき、f’(t)を I 上の関数と見なすことができる。

f’を 『 f の導関数 』 という。

E1

I を の開区間とする。

f:I→ を関数とする。

:I→ を f の第 i 成分とする。( つまり、f(t)=(f(t)、・・・、f(t))である )

このとき、次は同値である。

(1) f は t において微分可能である。

(2) f、・・・、f は t において微分可能である。

とくに、(1)または(2)が成り立つとき、次が成り立つ。

証明

いま、



『 左辺の極限が存在すること 』 と 『 右辺の各成分の極限が存在すること 』 は同値である。(※C7)

E2

I を の開区間とする。

f:I→ を関数とする。

f は t において微分可能であるとする。

このとき、f は t において連続である。

証明

仮定より、次のようにおける。



いま、limh→0δ(h)=0 である。

よって、limh→0f(t+h)=f(t)である。

E3 ( 微分と四則演算 )

I を の開区間とする。

f、g:I→ を関数とする。

f、g は t において微分可能であるとする。

このとき、次が成り立つ。



とくに、n=1の場合、次が成り立つ。

(1)の証明

次のように式変形して極限をとればよい。

(2)の証明

次のように式変形して極限をとればよい。

(3)の証明

次のように式変形する。



両辺の極限をとると、((1/g)(t))’=−g’(t)/g(t) である。

よって、(2)の結果を用いると(3)が得られる。