一様収束〜その1(関数列)

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定義 ( 関数列 )

:I→ を関数とする。( つまり、各 n∈ に対し、関数 f が定まっている )

このとき、(fn∈ を 『 I 上の関数列 』 という。

定義 ( 各点収束 )

:I→ を関数とする。

x∈I を固定すると、(f(x))n∈ を実数列と見なせる。

任意の点 x∈I に対し、limn→∞(x)が存在するとする。

このとき、「(fn∈ は I 上で各点収束する 」 という。

いま、次のような写像 f を定義できる。



この f を 『(fn∈ の極限 』 という。

また、「(fn∈ は f に各点収束する 」 という。

各点収束を単に 「 収束 」 と呼ぶこともある。

定義 ( 一様収束 )

:I→ を関数とする。

f を I 上の関数とする。

さらに、次が成り立つとする。



次のように表しても意味は同じである。



このとき、「(fn∈ は f に一様収束する 」 という。

各点収束と一様収束の定義は見た目に似ているが、しっかり区別する必要がある。

各点収束の定義は 「 任意の点 x∈ I に対し、ある N∈ が存在して・・・」 である。

一様収束の定義は 「ある N∈ が存在して、任意の点 x∈ I に対し、・・・」 である。

一様収束は、関数全体が f ±εの範囲に収まるイメージで捉えると分かりやすいであろう。

参考

関数列が各点収束しても一様収束するとは限らない。

f、f:I→ を関数とする。

は f に各点収束するとする。

ここで、x∈I とおく。

定義(各点収束)より、



同様に、他の点 x、x、・・・∈I に対して、



ここから、f は f に一様収束すると結論できるであろうか?

実際、N=max{N、N、・・・}おけばよさそうに思える。

このようにおけば、n≧N ならば、任意の x∈I に対して|f(x)−f(x)|<εが成り立つ。

よって、一様収束であると結論できるのではないか?

ところが、そもそも N を上記のようにおくことができない。

なぜなら、N、N、・・・は無限個あるからである。

無限個の数から何の条件もなしに最大値を選ぶことはできない。

実際、ある点に近づくにつれて、N の値が限りなく大きくなる場合がある。

とくに、フーリエ解析の世界に登場する 『 ギブズ現象 』 がその代表例である。

G7 ( 一様収束に対する同値条件 )

:I→ を関数とする。

このとき、次は同値である。

(1) (fn∈ が I 上である関数に一様収束する。

(2) 次が成り立つ。

証明

(1)を仮定する。

f を f の極限とする。

ε>0 とおく。

いま、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

ε>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、次が成り立つ。

(*) 任意の x∈I に対し、m、n≦N ⇒|f(x)−f(x)|<εである。

ここで、x∈I を固定する。

いま、(f(x))n∈ のコーシー列である。

よって、極限 limn→∞(x)が存在する。(※B6:コーシーの収束条件)

そこで、f(x)=limn→∞(x)とおく。

いま、f は I 上の関数である。

(*)において、m→∞ とすると、|f(x)−f(x)|≦εとなる。

これは f が I 上で f に一様収束することを意味する。

G8 ( 連続性は一様収束の極限に遺伝する )

:I→ を関数とする。

任意の n∈ に対し、f は I 上で連続であるとする。

(fn∈ が f に一様収束するとする。

このとき、f も I 上で連続である。

証明

ε>0 とおく。

いま、



(fn∈ は f に一様収束するから、



よって、



いま、f は I 上で連続であるから、



(*1)〜(*4)より、



よって、f は I 上で連続である。

G9 ( 積分と極限の順序交換 )

:[a、b]→ を連続関数とする。

(fn∈ は f に一様収束するとする。

このとき、x∈[a、b] に対して次が成り立つ。



つまり、次が成り立つ。



しかも、これは一様収束である。

補足

つまり、関数列が一様収束するならば、積分と極限の順番を交換してもよいということである。

証明

f は [a、b] 上で連続である。(※G8)

よって、f は I上で積分可能である。(※F4)

関数列(fn∈ は f に一様収束するから、



いま、



つまり、



よって、



しかも、これは区間 [a、b] における一様収束である。

G10 ( 微分と極限の順序交換 )

:[a、b]→ を微分可能な関数とする。

さらに、[a、b] 上で次の(1)〜(3)が成り立つとする。

(1) (fn∈ が f に収束する。

(2) f’が連続である。

(3) (f’)n∈ が g に一様収束する

このとき、[a、b] 上で次の(4)〜(6)が成り立つ。

(4) (fn∈ は f に一様収束する。

(5) f は微分可能である。

(6) f’=g である。

証明

いま、g は [a、b] 上で連続である。(※G8)

また、G9より、



左辺を計算すると、



しかも、これは一様収束である。(※G9)

つまり、(fn∈ は f に一様収束する。

また、



g は連続であるから、上式の右辺は微分可能である。(※微分積分学の基本定理)

よって、左辺の f も微分可能である。

微分を実行すると、