一様収束〜その2(関数項級数)

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定義 ( 関数項級数 )

:I→ を関数とする。

任意の点 x∈I に対し、1≦n≦∞(x)が存在するとする。

このとき、次のように定義できる。



F を次のように表す。



このとき、F を 『 (fn∈ の関数項級数 』 という。

また、「 F=1≦n≦∞ は I 上で収束する 」 という。

F=1≦n≦∞ を 『 F の級数展開 』 という。

定義 ( 関数項級数の一様収束 )

F、f:I→ を関数とする。

次が成り立つとする。



次のように書いても意味は同じである。



このとき、「 狽 は F(x) に一様収束する 」 という。

これは 『 関数列の一様収束 』 を 『 関数項級数 』 に適用しただけである。

なので、実は、今回の定義は不要である。

前のページでは、f、f、f、・・・という 『 関数列 』 を考えていた。

一方、今回は、f、f+f、f+f+f、・・・という 『 関数列 』 を考えているのである。

そして、その極限を 『 関数項級数 』 と呼んでいるのである。

参考 ( 関数項級数の一様収束と絶対収束性は独立している )

1≦n≦∞ が一様収束しても絶対収束するとは限らない。

1≦n≦∞ が絶対収束しても一様収束するとは限らない。

定義 ( 一様絶対収束 )

関数項級数が I 上で一様収束かつ絶対収束するとする。

このとき、この関数項級数は 「 D 上で一様絶対収束する 」 という。

復習 ( G3 )

を無限級数とする。

を(an∈ の第 n 部分和とする。

このとき、狽 が収束することと、次の条件は同値である。



これは次のように書き表しても意味は同じである。

これは既に前のページに書いたが、復習のために改めて掲載した。

G11 ( 関数項級数に関するコーシーの収束定理 )

(x)を区間 I 上の関数項級数とする。

(x)を狽(x)の部分和とする。

(Fn∈ が I 上で一様収束することと、次の条件は同値である。



これは次のように書き換えても意味は同じである。

証明

明らかである。(※G7)

G12 ( ワイエルシュトラスのMテスト )

:I→ を関数とする。

次が成り立つとする。



が収束するとする。

このとき、狽(x)は I 上で一様絶対収束する。

証明

G3 より、



一方、定理の仮定に注意すると、



よって、



よって、狽 は一様収束する。(※G11)

しかも、(*)に注意すれば煤bf|が収束することも分かる。

つまり、狽 は絶対収束する。

G13

:I→ を連続関数とする。

を区間 I 上の関数項級数とする。

は I 上で F(x) に一様収束するとする。

このとき、F(x) も連続である。

証明

明らかである。(※G8)

G14 ( 項別積分 )

:I→ を連続関数とする。

(x)は I 上で F(x)に一様収束するとする。

このとき、任意の x∈I に対して、次が成り立つ。



つまり、

補足

つまり、関数項級数が一様収束するならば、 と∫の順番を交換してもよい。

証明

(x) を 狽(x)の第 n 部分和とする。

いま、次が成り立つ。(※G9)



いま、左辺は次のように変形できる。



よって、証明が終わった。

G15 ( 項別微分 )

:I→ を微分可能な関数とする。

さらに、I 上で次が成り立つとする。

(1) F(x)= f である。

(2) f’ が連続である。

(3)  f’ が g(x) に一様収束する

このとき、I 上で次の(4)〜(6)が成り立つ。

(4)  f は一様収束する。

(5) F(x) は微分可能である。

(6) F’(x)=g(x)である。

とくに、(6)は次のように表すことができる。

補足

つまり、関数項級数が一様収束するならば、 と d/dx の順番を交換してもよい。

証明

G10 の f を F に置き換えれば証明できる。

参考

結局、このページの内容は前ページの繰り返しである。

前ページでは 『 関数列 』 について扱い、今回は 『 関数項級数 』 について扱った。

このように並行して扱うと頭の中で整理しやすいであろうと考えた。

この辺りの内容は、関数解析、フーリエ解析、複素解析、確率論などで重要である。