数列の極限(εN論法)

サイトのTOP→理系インデックス
微分積分のTOP→微分積分インデックス





定義 ( 数列 )

任意の n∈ に対し、ある a が対応しているとする。

このとき、(an∈ と表す。

(an∈ を 『 数列 』 という。

参考 ( 高校数学における極限の定義 )

(an∈ を数列 とする。

n→∞ とするとき、a が a∈ に限りなく近づくとする。

このことを次のように表す。



このとき、「(an∈ は a に収束する 」 という。

a を 『(an∈ の極限値 』 という。

上の定義は高校で教えられているものだが、大きな欠点を含んでいる。

定義の中では 「 限りなく近づく 」 と述べられているが、収束の速さが記述されていない。

よって、例えば、次の問題を議論できない。



実は、この問題を解くためには収束の速さを記述する必要があり、高校の知識では解けない。

定義 ( 数列の極限 )

(an∈ を数列とし、a∈ とする。

任意のε>0 に対し、ある自然数 N が存在して、n≧N ⇒|a−a|<εとなるとする。

これを論理記号と表すと、



あるいは、次の(*2)や(*3)のように表す。



このとき、「(an∈ は a に収束する 」 という。

a を 『(an∈ の極限値 』 という。

これを 『 εN論法 』 という。

定義には 「 任意のε>0 」 と書かれている。

つまり、「εはどんなに小さな値でもよい 」 ということだ。

つまり、|a−a|がいくらでも小さくなる。

つまり、(an∈ が a に収束するという意味になる。

定義 ( 数列の発散 )

数列が収束しないとき、その数列は 「 発散する 」 という。

定義 ( 有界な数列 )

(an∈ を数列とする。

集合 { a|n∈ } が上に有界であるとする。

このとき、「(an∈ は上に有界である 」 という。

一方、集合 { a|n∈ } が下に有界であるとする。

このとき、「(an∈ は下に有界である 」 という。

(an∈ が上下に有界であるとき、「(an∈ は有界である 」 という。

つまり、(an∈ が有界であるとは、次のことを意味する。

(*) ある定数 M が存在して、任意の n∈ に対して|a|<M となる。

A6

数列(an∈ が収束するとき、その極限は一意である。

証明

a、b を(an∈ の極限値とする。

a≠b と仮定する。(背理法)

ε>0 とおく。

いま、



ここで、N=max{N、N}とおく。

つまり、N と N のうち大きい方を N とする。

いま、



ε>0 は任意であるから、ε=|a−b|/2 とおいてよい。

いま、



これは矛盾である。

A7 ( 比較定理 )

数列(an∈ が a に収束するとする。

(bn∈ を別の数列とする。

任意の n∈ に対して|b−a|≦|a−a|であるとする。

このとき、(bn∈ も a に収束する。

証明

ε>0 とおく。

いま、



また、|b−a|≦|a−a|<εである。

以上により、



つまり、(bn∈ は a に収束する。

A8

数列(an∈ は a に収束するとする。

数列(bn∈ は b に収束するとする。

このとき、任意の n∈ に対して a≦b ならば、a≦b である。

補足

ちなみに、a<b でも a<b とは限らない。

例えば、a=1/(1+n)、b=1/n とおく。

いま、つねに a<b だが、その極限値は a=b (=0 ) である。

ただし、1/n→0(n→∞)の厳密な証明は後で与えられる。

証明

a>b と仮定する。(背理法)

ε>0 とおく。

仮定より、



ここで、N=max{N、N}とおく。

すると、



次のように表しても意味は同じである。



ε>0 は任意であるから、ε=(a−b)/2 とおいてよい。

いま、



これは矛盾である。

A9

閉区間 [ a、b ] 内の数列(an∈ が c に収束するとする。

このとき、c も [ a、b ] に属する。

補足

ちなみに、開区間(a、b)内の数列(an∈ が c に収束しても、c が(a、b)に属するとは限らない。

例えば、a=1/n とすると、各項 a はつねに開区間(0、2)に属する。

しかし、その極限値 0 は属さない。

ただし、1/n→0 ( n→∞ ) の厳密な証明は後で与えられる。

証明

c<a と仮定する。(背理法)

ε>0 とおく。

いま、



次のように表しても意味は同じである。



ε>0 は任意であるから、ε=a−c とおいてよい。

いま、a<c+ε=a である。

よって、a は [ a、b ] に属さない。

これは矛盾である。

同様に、c>b についても矛盾が導かれる。

よって、a≦c≦b である。

参考

b を実数とする。

任意の n∈ に対し、a<b とする。

a を(an∈ の極限する。

このとき、a≦b である。(※A8 または A9 )

A10 ( 収束するならば有界 )

数列(an∈ が収束するとする。

このとき、ある定数 M が存在して、任意の n∈ に対し、|a|<M となる。

( つまり、(an∈ は有界である )

補足

『 <M 』 とする代わりに、『 ≦M 』 としてもよい。

証明

ε>0 とおく。

a を(an∈ の極限とする。

いま、



ここで、次のような N+1個 の数を考える。



これらの数のうち、最小値を A とし、最大値を B とする。

いま、任意の n∈ に対して A≦a≦B である。

A、B が属するような開区間 ( −M、M ) をとれば、−M<a<M である。

A11 ( 極限の四則演算 )

数列(an∈ は a に収束するとする。

数列(bn∈ は b に収束するとする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

ε>0 とおく。

いま、



ここで、N=max{N、N}とおく。

すると、



よって、



以上により、



つまり、

補足

むろん、何の準備もなしに最初から 「ε/2 とおけばうまくいく 」 ということは分からない。

まずεで考えてみると、2εとなってしまうので、

「 なるほど、これは最初にε/2 とおけばうまくいくな 」 と考えて議論をやり直すのである。

ただし、最初からεとおいて証明を書いて、最終的に<2εと書いてもよい。

(2)の証明

ε>0 とおく。

いま、



また、



以上により、



つまり、

(3)の証明

いま、



ここで、N=max{N、N}おく。

いま、



いま、(an∈ は収束する。

よって、ある M>0 が存在して、|a|<M となる。(※A10)

よって、



つまり、



(*1)、(*2)のεをε/(M+|b|)に置き換え、最初から議論をやり直すと、



以上により、



つまり、

補足

今回は途中でεをε/(M+|b|)に置き直す形にした。

(1)、(2)と同じように、最初からε/(M+|b|)とおいて証明してもよい。

(4)の証明

いま、



ここで、N=max{N、N}おく。

いま、



いま、ある定数 M が存在して、次が成り立つ。(※A10)



また、b→b ( n→∞ )であるから、



ここで、N=max{N、N}とおく。

いま、



よって、



つまり、



(*1)、(*2)のεを|b|ε/(4M)に置き換え、最初から議論をやり直すと、



以上により、



つまり、

A12 ( はさみうちの原理 )

数列(an∈、(bn∈、(cn∈ について次が成り立つとする。



このとき、次が成り立つ。



これを 『 はさみうちの原理 』 という。

証明

ε>0 とおく。

(an∈ 、(bn∈ が両方とも c に収束するから、



ここで、N=max{N、N}おく。

いま、



次のように書き換えても意味は同じである。



よって、c−ε<a≦c≦b<c+εである。

つまり、|c−c|<εである。

以上により、



これは(cn∈ が c に収束することを示している。

参考

次が成り立つ。

証明

=(a+・・・+a)/n とおく。

ε>0 とおく。

いま、



よって、



上式の右辺第1項の分子は定数である。

よって、n を十分大きくとれば、右辺の第1項をいくらでも 0 に近づけることができる。

つまり、



ここで、N=max { N、N } とおく。

いま、n≧N ⇒|b−a|<2εである。

つまり、b は a に収束する。