ε-N論法とε-δ論法の共演

サイトのTOP→理系インデックス
微分積分のTOP→微分積分インデックス





定義 ( 数列の極限 )

(an∈ を数列とし、a∈ とする。

任意のε>0 に対し、ある自然数 N が存在して、n≧N ⇒|a−a|<εとなるとする。

これを論理記号と表すと、



あるいは、次の(*1)や(*2)のように表す。



このとき、「(an∈ は a に収束する 」 という。

a を 『(an∈ の極限値 』 という。

S2 ( 関数の極限に対する同値条件 )

f:I→ を関数とする。

このとき、次は同値である。

補足

この定理は 『 関数の極限 』 を 『 数列の極限 』 に言い換えている。

なので、ε-δ論法とε-N論法が共演することになる。

証明

(1)を仮定する。

ε>0 とおく。

仮定より、



(xn∈ を、x → a ( n→∞ ) となる点列とする。

( ただし、x∈ I−{a})

いま、δ>0 であるから、



いま、x∈ I−{a}であるから、次のように書き換えても意味は同じである。



(*1)、(*2)より、



以上により、



つまり、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

f が a で連続でないと仮定する。(背理法)

つまり、



つまり、



δは任意であるから、δ=1/n とおいてよい。

δ=1/n に対して、上の条件を満たす x を x と表す。

いま、



また、(*3)より、x → a ( n→∞ ) である。

よって、仮定(2)より、



これは(*4)に矛盾する。

S3 ( 関数の連続性に対する同値条件 )

f:I→ を関数とする。

このとき、次は同値である。

補足

次のような関数を考えてみよう。



明らかに、この関数は連続ではない。

このことは、条件(2)からも確認できる。

それを確認するため、x=(1/2) とおく。

いま、limn→∞=0 である。

また、f(x)=1、f(x)=1、f(x)=1、・・・である。

よって、limn→∞f(x)=1である。

ところが、f(0)=0 である。

たしかに、条件(2)は満たされない。

つまり、f は不連続である。

証明

S2 と同様である。

S4

連続関数 f(x) が点 a で連続であるとする。

f(a)>0 であるとする。

このとき、点 a の十分近くの x に対して f(x)>0 である。

補足

同様のことは <0 の場合にも成り立つ。

つまり、f(a)<0 ならば、点 a の十分近くの x に対して f(x)<0 である。

証明

ε>0 とおく。

いま、f は点 a で連続であるから、



εは任意であるから、ε=f(a)/2>0 とおいてよい。

いま、



つまり、



つまり、