実数の連続性

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参考

実数の連続性に関する定理の関係をまとめると、下図のようになる。



上図から分かるように、これらの定理は互いに同値である。

このページでは B1 を公理として採用し、B2〜B6 を導く。

本題に入る前に、次のことを確認しておこう。

参考

A を の部分集合とし、上に有界であるとする。

このとき、supA∈ が存在するとは限らない。

( 下限についても同様のことがいえる )

証明

成り立つとは限らないことを示すには何か1つでもよいので反例を挙げればよい。

A={ x∈|x>0、x<2}とおく。

supA=a∈ が存在するとする。(背理法)

いま、a<2 または a=2 または a>2 である。

しかし、a=2 はありえない。(※A3:√2は無理数)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

<2 とする。

いま、a∈A である。

ここで、b=(3a+4)/(2a+3)とおく。

いま、b も有理数である。

また、b<2、a<b である。

つまり、b∈A かつ a<b である。

これは a=supA に矛盾する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

>2 とする。

いま、上と同様に b を定めると、b>2、b<a である。

つまり、b∈U(A) かつ b<a である。

これは a=supA に矛盾する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、supA=a∈ は存在しない。

参考

上で示したように、上に有界な A⊂ に対し、supA∈ が存在するとは限らない。

つまり、有理数の世界において 「 上に有界な集合 」 が上限をもつとは限らない。

では、実数の世界ではどうであろうか?

つまり、上に有界な A⊂ に対し、supA∈ は存在するか?

それとも反例があるのだろうか?

実は、どちらともいえない。

この問題はここまで紹介してきた定理では証明も反証もできないことが知られている。

そこで、私たちは 「 supA∈ は存在する 」 を公理として採用する。

つまり、次の公理である。

B1 ( 上限、下限の存在 )

A を の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A が上に有界ならば、上限 supA が存在する。

(2) A が下に有界ならば、下限 infA が存在する。

これは公理であるから、証明は行わない。

B2 ( 有界な単調数列の収束 )

(an∈ を上に有界な単調増加数列とする。

このとき、(an∈ は収束する。

その極限は次のように表せる。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(an∈ を下に有界な単調減少数列とする。

このとき、(an∈ は収束する。

その極限は次のように表せる。

証明 ( B1 から B2 を証明する )

(an∈ を上に有界な単調増加数列とする。

A={ a|n∈ } とおく。

いま、(an∈ は上に有界であるから A には上限が存在する。(※B1)

そこで、a=supA とおく。

上限 a は U(A)の最小元であるから、a−εは A の上界ではない。

よって、ある N∈ が存在して、a−ε<a となる。

(an∈ は単調増加数列であるから、a−ε<a≦aN+1≦aN+2≦・・・≦a である。

よって、n≧N を満たす全ての自然数 n に対し、a−ε<a<a+εである。

以上により、

B3 ( 区間縮小法 )

(an∈、(bn∈ を数列とする。

= [a、b] を閉区間とする。

任意の n∈ に対し、次が成り立つとする。



このとき、全ての閉区間に属する1つの点 c が一意に存在する。

つまり、



さらに、次が成り立つ。

補足

区間縮小法は 「 カントールの区間縮小法 」 とも呼ばれる。

区間縮小法は実数 で成り立つが、有理数 では成り立たない。

実際、無理数を c として選ぶと、この点 c は存在しないことになってしまう。

つまり、区間縮小法も、他の公理と同様に実数の本質を表している。

証明 ( B2 から B3 を証明する )

仮定(1)より、a≦a≦・・・≦a≦・・・≦b≦・・・≦b≦b である。

いま、数列(an∈、(bn∈ は単調数列である。

また、(an∈ は上に有界であり、(bn∈ は下に有界である。

よって、(an∈、(bn∈ は収束する。(※B2)

そこで、極限をそれぞれ a、b とする。

いま、a≦a であり、b≦bである。(※B2)

また、limn→∞(b−a)=b−a である。

よって、仮定(2)より、b−a=0 である。

よって、a=bである。

a=b=c とおくと、任意の n∈ に対して a≦c≦b である。

c 以外に上の条件を満たす数は存在しないので、∩n∈={c} である。

B4 ( アルキメデスの原理 )

任意の実数 a>0、b>0 に対し、ある n∈ が存在して、na>b となる。

証明 ( B2 から B4 を証明する )

任意の自然数 n に対して na≦b と仮定する。(背理法)

これは数列 (na)n∈ が上に有界であることを意味する。

よって、この数列は c=sup{ na|n∈ }に収束する。(※B2)

一方、a>0 なので、c−a<c である。

c−a は上限 c よりも小さい。

よって、ある n∈ が存在して c−a<na となる。(※定義:上限)

これを式変形すると、c<(n+1)a である。

しかし、n+1 は自然数であるから、これは数列 (na)n∈ が上限 c を超えることを意味する。

これは矛盾である。

参考

a を実数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

明らかである。(※B4:アルキメデスの原理)

(2)の証明

(1)において a=1 とすればよい。

(3)の証明

a>0 の場合について証明する。( a<0 の場合も同様に証明できる )

ε>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、Nε>a となる。(※B4:アルキメデスの原理)

よって、n≧N ならば nε>a である。

よって、n≧N ならば a/n<εである。

つまり、n≧N ならば|a/n−0|<εである。

以上により、

(4)の証明

(3)と同様である。

参考

r>0 とし、(an∈=r とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) 0<r<1 ならば(an∈ は 0 に収束する。

(2) r=1 ならば(an∈ は 1 に収束する。

(3) r>1 ならば(an∈ は +∞ に発散する。

(1)の証明

いま、r>r>・・・>r>・・・である。

つまり、(an∈ は狭義減少数列である。

明らかに、0 は{ an∈ }の下界である。

よって、(an∈ は収束する。(※B2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ε>0 とおく。

a=(1/r)−1 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、Naε>1 となる。(※B4)

よって、



よって、|a−0|=|r−0|<εである。

以上により、



つまり、(an∈ は 0 に収束する。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

M>0 とおく。

r−1=a>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、Na>M となる。(※B4)

よって、



以上により、



つまり、(an∈ は +∞ に発散する。

B5 ( ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理 )

有界な数列は収束する部分列をもつ。

補足

例えば、次のような有界な数列を考える。



数列全体としては収束しないが、部分列 1/2、1/3、1/4 ・・・ は収束する。

補足

以下の証明では 『 二分法 』 という論法を用いる。

これはよく用いられる論法で、後で登場する 『 中間値の定理 』 の証明でも用いられる。

証明 ( B3 と B4 から B5 を導く )

(an∈ を有界な数列とする。

いま、数列(an∈ は有界である。

よって、ある実数 b、c が存在して a∈I=[a、b] ( n∈ ) となる。

ここで、d=(b+c)/2 とおく。

いま、I は2つの区間 [ b、d ]、[d、c ] に区切られる。

また、I の中には無限個の元 a が属する。

よって、I を2等分すると、少なくともどちらか一方の区間に無限個の元 a が属する。

そこで、[ b、d ]、[ d、c ] のうち、無限個の元 a をもつ方を I とする。

どちらでも同様に議論できるので、ここでは [ b、d ] が無限個の元をもつものとする。

そこで、I=[b、c]=[b、d] とおく。

再び、I を二等分し、無限個の a が属する方を I=[a、b] とおく。

同様の手順によって、無限個の元をもつ区間を選んでいき、その区間を I=[b、c] として定めていく。

は1/2 毎に小さくなっていくから、c−b=(c−b)/2n−1 である。

また、limn→∞(c−b)=limn→∞(c−b)/2n−1=0 である。

よって、ある数αが存在して、limn→∞=limn→∞=αである。(※B3:区間縮小法)

さて、以上の議論によって定められた I はつねに(an∈ の項を無限個もつ。

そこで、各 I から1個ずつ(an∈ の項を取り出して、

部分列(βn∈=(aρ(n)n∈ を作り出すことができる。

つまり、任意の n∈ に対して、β∈ I である。

よって、b≦β≦c であるから、limn→∞β=αである。(※A12:はさみうちの原理)

よって、(βn∈=(aρ(n)n∈ は収束する。

復習 ( コーシー列 )

(an∈ を数列とする。

次が成り立つとする。



このとき、(an∈ を 『 コーシー列 』 という。

B6 ( コーシーの収束条件 )

(an∈ を数列とする。

このとき、次は同値である。

(1) (an∈ は収束列である。

(2) (an∈ はコーシー列である。

証明 ( B5 から B6 を導く )

(1)を仮定する。

つまり、(an∈ を収束列とする。

その極限を a とする。

ε>0 とおく。

いま、



よって、



以上により、



よって、(an∈ はコーシー列である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に(2)を仮定する。

つまり、(an∈ をコーシー列とする。

次のことを示せば定理の証明が完了する。

(*1) コーシー列が有界列である。

(*2) 有界列は収束部分列をもつ。

(*3) 収束部分列をもつコーシー列は、収束列である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)について

ε>0 とおく。

(an∈ はコーシー列であるから、



とくに、n=N で固定すると、



そこで、a、・・・、aN−1、a−ε、a+ε のうち、最小数を A とし、最大数を B とする。

さらに、A、B を含む開区間を (−M、M) とする。

いま、任意の n∈ に対し、−M<a<M となる。

つまり、数列(an∈ は有界である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*2)について

既に示した。(※B5:ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*3)について

改めて、ε>0 とおく。

(an∈ はコーシー列であるから、



(aρ(n)n∈ を(an∈ の収束部分列とする。

a を(aρ(n)n∈ の極限とする。

いま、



ここで、N=max{N、N}とおく。

いま、



( n≧N ならば ρ(n)≧N となることに注意 )

よって、



以上により、



よって、(an∈ は収束する。

参考

実数の連続性は他にもある。

例えば、デデキントの公理、中間値の定理、最大値の定理などである。

区間縮小法から中間値の定理を証明できる。

中間値の定理からデデキントの公理を証明できる。

ただし、これらの証明の過程をすべて完璧に理解する必要はない。

例えば、このページに書かれている証明の流れを大雑把に把握できれば十分である。

これらの証明をスラスラと書けなければならないということではない。

参考

実数の連続性は、解析学の様々な場面で登場する。

とくに、点列の収束性や位相空間論を学ぶと、さらに視野が広まり、全体が視えやすくなる。

例えば、B6 に注目してみよう。

B6 によれば、 におけるコーシー列は収束する。

実は、一般の距離空間ではコーシー列は収束するとは限らない。

そこで、とくに、コーシー列が収束する空間を完備距離空間という。

つまり、B6 は が完備であることを意味する。

ちなみに、 も完備である。

同様に、 も完備である。

こうして、位相空間、微分積分、複素解析がつながる。