εδ論法(直観的説明)

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注意

εδ論法については本編で詳しく説明する。

しかし、その前に、このページでも説明しておこう。

とくに、1変数実数値関数についてεδ論法を説明する。

1変数実数値関数とは、高校でよく知られている普通の関数のことである。

以下、f を1変数実数値関数とする。

f の定義域が I であることを f:I→ と表す。

定義 ( 関数の極限 )

f:I→ を関数とする。

a を実数とする。

任意のε>0 に対し、あるδ>0 が存在して、0< | x−a | <δ ⇒ | f(x)−c | <εとなるとする。

これを論理記号で表すと、



あるいは、次のように表す。



このとき、「 f(x) は x→a で c に収束する 」 という。

また、c を 『 f(x) の x→a での極限 』 という。

(*1)をさらに正確に書くと、

『 関数の極限 』 では、点が x=a に 『 近づく 』 ことを考えている。

なので、関数 f は x=a で定義されていなくても問題ない。

つまり、a は I に属していなくてもよい。

このことを強調するため、(*2)を次のように表すこともある。

参考

ε-δ論法を初めて知ったとき、戸惑う入門者は多い。

しかし、ε-δ論法は難しいことを述べているのではない。

ただ、当然のことを詳しく述べているだけなのである。

このことを図を用いて説明しよう。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、ある関数 f(x) があるとする。

ここで、

「 f(x)が c±10−1 の範囲に収まるようなδが存在するだろうか?」

・・・と考えるのである。



これに対して、δが存在するとしよう。



さらに条件を厳しくして、

「 f(x)が c±10−2 の範囲に収まるようなδが存在するだろうか?」

・・・と考えるのである。



これに対して、やはりδが存在するとしよう。



さらに条件を厳しくして、最終的に、

「 任意のεに対して f(x)が c±εの範囲に収まるようなδが存在するだろうか?」

・・・と考えるのである。

( つまり、εはどんなに小さくてもよい )

ここで、やはり各εに対してδが存在するとしよう。

このような状態を関数の極限として定義する。

これは関数の極限の定義として自然である。

以上の内容を記号で表せば、



式を書き直すと、



これはまさにε-δ論法の式である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

もしかしたら、

「 そのようなδが存在することをどうやって示すのか?」

・・・という疑問をもつ人がいるかもしれない。

しかし、それは今の議論と全く関係がないので、頭から切り離してよい。

いまここで話しているのは 「δが存在するならば 」 という話である。

心配しなくても、δが存在することは単なる数学的操作によって示される。

それは後の定理の証明などに登場するので、そのときに確認すればよいのである。

ε-δ論法それ自体は単純な論法であることが分かるであろう。