実数の稠密性

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P1 ( 実数の稠密性 )

a、b を実数とし、a<b とする。

このとき、ある x∈ が存在して a<x<b となる。

補足

最終的に次のことが示される。

(*1) 実数の(実数における)稠密性

(*2) 有理数の(実数における)稠密性

(*3) 無理数の(実数における)稠密性

今回は(*1)を示す。

ちなみに、『 実数の稠密性 』 と 『 実数の連続性 』 は別物である。

実数の連続性については後のページで議論する。

また、(*2)と(*3)は実数の連続性によって示される。

証明

x=(a+b)/2 とおけば a<x<b である。

P2

a≧0 とする。

任意の ε>0 に対して ε>a であるとする。

このとき、a=0 である。

証明

a>0 と仮定する。(背理法)

いま、ある実数 x が存在して a>x>0 となる。(※P1)

これは定理の仮定に矛盾する。

よって、上の仮定 「 a>0 」 が間違っていたのである。

よって、a=0 である。

P3 ( √2 は無理数 )

ある x∈ が存在して x>0 かつ x=2 を満たすとする。

このとき、x は有理数ではない。

証明

x が有理数であると仮定する。(背理法)

いま、互いに素な2つの自然数 p と q が存在して x=p/q となる。

両辺を2乗して整理すると、2q=p である。

左辺は偶数なので、p は偶数である。

そこで、p=2r とおく。( r は自然数 )

いま、q=2r である。

右辺は偶数だから q は偶数である。

しかし、これは p と q が互いに素であるという仮定に矛盾する。

よって、上の仮定 「 x が有理数である 」 が間違っていたのである。

よって、x は無理数である。