コーシー列と部分列(数列ver)

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定義 ( コーシー列 )

(an∈ を数列とする。

次が成り立つとする。



このとき、(an∈ を 『 コーシー列 』 という。

次のように書き換えても意味は同じである。



また、次のように表してもよいとする。

定義 ( 部分列 )

(an∈ を数列とする。

n=1、2、・・・ から順序を保ったまま番号を抜き出したものをρ(1)、ρ(2)、・・・ とおく。

このとき、(aρ(n)n∈ を 『(an∈ の部分列 』 という。

図示すると、

参考 ( 写像による部分列の定義 )

(an∈ を数列とする。

ρ: を順序を保つ写像とする。

( つまり、n<n ならば ρ(n)<ρ(n)である )

このとき、(aρ(n)n∈ を 『(an∈ の部分列 』 という。

これは 『 写像 』 という概念を用いて定義(部分列)を書き直したものである。

写像を知らない人は気にしなくてよい。

A13

(an∈ が a に収束するとする。

このとき、(an∈ の任意の部分列も a に収束する。

証明

ε>0 とおく。

仮定より、



(aρ(n)n∈ を(an∈ の部分列とする。

定義(部分列)より、ρ(n)≧n であるから、



以上により、



よって、(aρ(n)n∈ は a に収束する。

定義 ( 単調増加数列、狭義増加数列 )

(an∈ を数列とする。

(1) 任意の n∈ に対し、a≦an+1 であるとき、(an∈ を 『 単調増加数列 』 という。

(2) 任意の n∈ に対し、a≧an+1 であるとき、(an∈ を 『 単調減少数列 』 という。

(3) 任意の n∈ に対し、a<an+1 であるとき、(an∈ を 『 狭義増加数列 』 という。

(4) 任意の n∈ に対し、a>an+1 であるとき、(an∈ を 『 狭義減少数列 』 という。

定義 ( +∞ に発散する )

(an∈ を数列とする。

さらに、次が成り立つとする。



このとき、「(an∈ は ∞ に発散する 」 という。

このことを次のように表す。

同様に、「 −∞に発散する 」 も定義される。

明らかに、単調増加数列(an∈ が上に有界でなければ、次が成り立つ。



また、単調減少数列(an∈ が下に有界でなければ、次が成り立つ。