コンパクトと点列コンパクト

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定義 ( 部分集合族 )

J を集合とする。

任意のλ∈J に対し、 の部分集合 Uλ が対応しているとする。

このとき、(Uλλ∈J と表す。

(Uλλ∈J を 『 の部分集合族 』 という。

例えば、J= とおいてみよう。

このとき、(Un∈ は、U、U、U、・・・ という集合列を意味する。

定義 ( 開被覆 )

(Uλλ∈J の部分集合族とする。

K を の部分集合とする。

次が成り立つとする。



このとき、(Uλλ∈J を 『 Kの被覆 』 という。

とくに、各 Uλ が開集合ならば、これを 『 Kの開被覆 』 という。

定義 ( コンパクト )

K を の部分集合とする。

(Uλλ∈J を K の 『 任意 』 の開被覆とする。

あるλ、・・・、λ が存在して、次が成り立つとする。



このとき、「 Kはコンパクトである 」 という。

つまり、(Uλλ∈J から 『 有限個 』 の開集合を選んで K を被覆できるということである。

さらに、それが任意の開被覆について成り立つとき、K はコンパクトであるというのである。

定義 ( 点列コンパクト )

K を の部分集合とする。

任意の点列(xn∈⊂K が、K の点に収束する部分列をもつとする。

このとき、「 K は点列コンパクトである 」 という。

定義 ( 全有界 )

K を の部分集合とする。

任意の点列(xn∈⊂K が収束する部分列をもつとする。

このとき、「 K は全有界である 」 という。

点列コンパクト性の意味を分けて書くと次のようになる。

(1) 任意の点列(xn∈⊂K は、収束する部分列をもつ。

(2) この収束部分列の極限は K に属する。

定義(全有界)はこの(1)を意味する。

つまり、全有界は点列コンパクト性を部分的に記述している。

C19 ( 全有界 ⇔ 有界 )

K を の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) K は全有界である。

(2) K は有界である。

証明

(1)を仮定する。

K は有界でないとする。(背理法)

いま、任意の n∈ に対し、ある x∈K が存在して、|x|>n となる。

いま、(xn∈ は K の点列である。

また、(xn∈ の任意の部分列は収束しない。

これは矛盾である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

d=1の場合は明らかに成り立つ。(※B5:ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理)

d>1の場合を考える。

d−1 に対して定理が成り立つとする。(帰納法)

(xn∈⊂K を点列とする。

いま、x=(xn、1、・・・、xn、d)である。

ここで、y=(xn、1、・・・、xn、d−1)とおく。

いま、x=(y、xn、d)である。

また、(yn∈d−1 の点列である。

よって、帰納法の仮定より、(yn∈ は収束部分列をもつ。

また、(xn、dn∈ の点列 ( つまり数列 ) である。

よって、(xn、dn∈ も収束部分列をもつ。(※B5:ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理)

よって、(xn∈ は収束部分列をもつ。(※C7)

よって、K は全有界である。

C20

K を の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) K はコンパクトである。

(2) K は点列コンパクトである。

(3) K は有界閉集合である。

補足

この定理は解析学の世界において非常に重要である。

補足

この定理の証明は長いので、初学者は証明を読まなくてもよい。

ちなみに、同様の議論は位相空間論でも登場する。

補足

(3)⇒(1)では 『 二分法 』 を用いる。

同様の論法は 『 ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 』 で用いている。

後で登場する 『 中間値の定理 』 の証明でも同様の論法を用いる。

(1)⇒(3)の証明

(1)を仮定する。

K は有界でないとする。(背理法)

いま、任意の n∈ に対し、ある x∈K が存在して|x|>n となる。(★)

={ x∈:|x|<n } とおく。

( つまり、U は 0 を中心とする半径 n の開球である )

いま、(Un∈ の開被覆である。

むろん、(Un∈ は K の開被覆である。

しかし、(★)より、(Un∈ から有限個の開集合を選んで K を被覆することはできない。

これは仮定(1)に矛盾する。

よって、K は有界である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、K が閉集合であることを示す。

( そのためには、K が開集合であることを示せばよい )

x∈K とおく。

y∈K とおく。

いま、x≠y である。

r=|x−y|/2 とおく。

を、x を中心とする半径 r の開球とする。

を、y を中心とする半径 r の開球とする。

( U と V はどちらも添え字が y になっているが、これは誤植ではない )

( いまは x を固定しているが、y は自由に動かしてよいというニュアンスを込めている )

このとき、



明らかに、(Vy∈K は K の開被覆である。

しかも、いま、K はコンパクトである。

よって、ある y、・・・、y が存在して、



ここで、次のようにおく。



いま、U は x を含む開集合である。(※C17)(★)

(*1)〜(*3)より、



よって、U⊂K である。

よって、(★)より、あるε>0 が存在して、S(x、ε)⊂K となる。(※C14)

もともと、x は K の任意の点である。

よって、以上の内容をまとめると、

(*) 任意の x∈K に対し、あるε>0 が存在して、S(x、ε)⊂K である。

よって、K は開集合である。(※C14)

よって、K は閉集合である。(※C16)

(3)⇒(1)の証明

K はコンパクトではないと仮定する。(背理法)

いま、Kの開被覆(Uλλ∈J が存在して、次の(*)を満たす。

(*) どのように(Uλλ∈J から有限個の Uλ を取り出しても K を被覆できない。

いま、K は有界である。

よって、ある n 次元有界閉区間 I が存在して、K⊂I となる。

=[a、b]×・・・×[a、b] とおく。

各 [a、b] を、その中点 2−1[a、b] で分割する。

つまり、I は 2 個の n 次元小区間に分割される。

いま、ある n 次元小区間 I が存在して、I∩K は有限個の Uλ では被覆されない。

( もしすべての小区間が有限個で被覆されると、Kも有限個で被覆されることになってしまう )

から I を構成したのと同様に、I から I を構成できる。

これを繰り返すと、次のような小区間の列を構成できる。

(*1) I⊃I⊃I⊃・・・

(*2) In+1 の各辺の長さは、I の対応する辺の長さの 1/2 である。

(*3) 各 I∩K は有限個の Uλ では被覆されない。

n、k を I の第 k 辺とする。

(*1)、(*2)より、ある実数 c が存在して、∩n∈n、k={c}となる。(※B3:区間縮小法)

c=(c、・・・、c)とおく。

いま、∩n∈={c}である。

任意の n∈ に対し、x∈I∩K とおく。

いま、x→c ( n→∞ ) である。

しかも、(xn∈⊂K である。

よって、c∈ である。(※C11)

いま、=K である。(※定義:閉集合)

よって、x∈K である。

また、K⊂Uλ∈Jλ である。

よって、x∈Uλ∈Jλ である。

よって、あるλ∈J が存在して、c∈Uλ となる。

いま、Uλ は開集合である。

よって、あるε>0 が存在して、S(c、ε)⊂Uλ となる。(※C14)(★1)

|I|を I の対角線の長さとする。

いま、|I|→0 ( n→∞ ) である。

よって、n を十分に大きくとれば、|I|<εとなる。

いま、I⊂S(c、ε)である。(★2)

よって、(★1)、(★2)より、I∩K⊂I⊂S(c;ε)⊂Uλ である。

これは(*3)に矛盾する。

(2)⇒(3)の証明

(2)を仮定する。

いま、K は全有界である。(※定義:全有界の補足)

よって、K は有界である。(※C19)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、K が閉集合であることを示す。

x∈ とおく。

いま、点列(xn∈⊂K が存在して、x は x に収束する。(※C11)

また、K は点列コンパクトである。

よって、(xn∈ は、Kの点に収束する部分列をもつ。

また、部分列の極限と点列の極限は一致する。(※A13を点列に適用すればよい)

よって、x∈K である。

以上により、x∈ ⇒ x∈K である。

よって、⊂K である。

一方、K⊂ である。(※C12)

よって、=K である。

よって、K は閉集合である。(※定義:閉集合)

(3)⇒(2)の証明

(3)を仮定する。

いま、K は全有界である。(※C19)

つまり、任意の点列(xn∈⊂K は、収束する部分列をもつ。(※定義:全有界)(★1)

この収束部分列の極限は に属する。(※C11)

いま、K は閉集合である。

よって、=K である。(※定義:閉集合)

よって、収束部分列の極限は K に属する。(★2)

(★1)、(★2)より、K は点列コンパクトである。