コーシー列と部分列(点列ver)

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復習 ( コーシーの収束条件 )

(an∈ を数列とする。

このとき、次は同値である。

(1) (an∈ は収束列である。

(2) (an∈ はコーシー列である。

復習 ( 点列の収束 ⇔ 各成分の収束 )

(an∈ の点列とする。

n、k (k=1、・・・、d) を a の第 k 成分とする。

つまり、an、k=(an、1、・・・、an、d)である。

b=(b、・・・、b)とする。

このとき、次は同値である。

(1) a→b ( n→∞ )

(2) 各 k に対し、an、k→b ( n→∞ ) である。

定義 ( コーシー列[点列ver])

(an∈ の点列とする。

次が成り立つとする。



このとき、(an∈ を 『 コーシー列 』 という。

また、(*1)を次の(*2)または(*3)のように表すこともある。

次のように書き換えても意味は同じである。

定義 ( 部分列 )

(an∈ の点列とする。

n=1、2、・・・ から順序を保ったまま番号を抜き出したものをρ(1)、ρ(2)、・・・ とおく。

このとき、(aρ(n)n∈ を 『(an∈ の部分列 』 という。

図示すると、

参考 ( 写像による部分列の定義 )

(an∈ を数列とする。

ρ: を順序を保つ写像とする。

( つまり、n<n ならば ρ(n)<ρ(n)である )

このとき、(aρ(n)n∈ を 『(an∈ の部分列 』 という。

これは 『 写像 』 という概念を用いて定義(部分列)を書き直したものである。

写像を知らない人は気にしなくてよい。

P1

(an∈ の点列とする。

n、k を (an∈ の第 k 成分とする。

( つまり、a=(an、1、・・・、an、d)である )

このとき、次は同値である。

(1)  (an∈ はコーシー列である。

(2) 各 k に対し、 (an、kn∈ はコーシー列である。

証明

(1)を仮定する。

いま、|an、k−am、k|≦|a−a|である。

また、(an∈ はコーシー列である。

よって、|a−a|→0 ( n、m→∞ ) である。

よって、|an、k−am、k|→0 ( n、m→∞ ) である。

よって、(an、kn∈ はコーシー列である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、|a−a1≦k≦d|an、k−am、k である。

また、(an、kn∈ はコーシー列である。

よって、|an、k−am、k|→0 ( n、m→∞ ) である。

よって、|a−a→0 ( n、m→∞ ) である。

よって、(an∈ はコーシー列である。

P2 ( コーシーの収束条件:点列ver )

(an∈ の点列とする。

このとき、次は同値である。

(1) (an∈ は収束する。

(2) (an∈ はコーシー列である。

証明

次の(*1)〜(*4)は同値である。(※復習(点列の収束⇔各成分の収束)、復習(コーシーの収束条件)、P1)

(*1) (an∈ は収束する。

(*2) (an∈ の各成分は収束する。

(*3) (an∈ の各成分はコーシー列である。

(*4) (an∈ はコーシー列である。

補足

(*2)⇒(*3)は明らかである。

(*3)⇒(*2)は B6(コーシーの収束条件) によって成り立つ。