√2 の存在証明

サイトのTOP→理系インデックス
微分積分のTOP→微分積分インデックス





参考

=2 ( x>0 ) を満たす数が存在する。

証明

<2< 2 より、区間 I = [ 1、2 ] とする。

1.4 <2< 1.5 より、区間 I = [ 1.4、1.5 ] とする。

1.41 <2< 1.42 より、区間 I = [ 1.41、1.42 ] とする。

このようにして、閉区間 I = [ a、b ] を定める。

いま、ある c∈ が 『 存在 』 して、次が成り立つ。(※B3:区間縮小法)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、c=2 または c>2 または c<2 である。( ただし、上の議論により、c>0 である )

>2 と仮定する。(背理法)

いま、c−2>0 である。

また、閉区間 I の右端 b について次が成り立つ。(※B3:区間縮小法)



つまり、



εは任意であるから、ε=c−2 とおいてよい。

よって、



式変形すると、



= [ a、b ] であるから、c は区間 I に属さない。

これは矛盾である。

同様に、c<2 についても矛盾が示される。

よって、c=2 である。