多変数ベクトル値関数の微分

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定義 ( 多変数ベクトル値関数の微分 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

x∈D とおく。

ある m×n 実行列 M が存在して、次が成り立つとする。



このとき、「 f は x で微分可能である 」 という。

また、(*1)を次のように表しても意味は同じである。



このとき、M を 『 f の微分係数 』 という。

また、M=f’(x)と表す。

つまり、f’は行列値関数である。

E14

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

f は点 x∈D で微分可能であるとする。

このとき、f は点 x で連続である。

証明

いま、f(x+h)=f(x)+Mh+o(|h|) である。

よって、f(x+h)→f(x) ( h→0 ) である。

E15

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

:D→ を f の第 i 成分とする。( つまり、f(x)=(f(x)、・・・、f(x))である )

x∈D とおく。

このとき、次は同値である。

(1) f は x で微分可能である。

(2) f、・・・、f は x で微分可能である。

とくに、M の第 i 行は f’(x) である。

証明

M の第 i 行を c とおく。

いま、h∈ に対し、Mh=(ch、・・・、ch)である。

よって、次の(*1)〜(*4)は同値である。

E16

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

f は点 x∈D で微分可能であるとする。

:D→ を f の第 i 成分とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

既に述べたように、f’は行列値関数である。

行列値関数の連続性は、ベクトル値関数の連続性と同様に定義される。

ただし、そのためには行列に対してノルムを定義する必要がある。

行列 A=(aij) のノルムは次のように定義される。

(1)の証明

e=0 の場合を考える。

いま、(Df)(x)=0 である。

また、f’(x)e=0 である。

よって、(Df)(x)=f’(x)e である。

e≠0 の場合を考える。

h=te とおく。

いま、



よって、(Df)(x)=f’(x)e である。

(2)の証明

明らかである。(※E15、E12)

E17 ( C級 ⇒ 微分可能〜多変数ベクトル値関数ver )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

f は D 上で C級であるとする。

このとき、f は D 上で微分可能である。

証明

:D→ を f の第 i 成分とする。

いま、各 f は D 上で微分可能である。(※E13)

よって、f は微分可能である。(※E15)