無限級数

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定義 ( 無限級数 )

(an∈ を数列とする。

(an∈ の第1項から第 n 項までの和を S と表す。

つまり、S=a+・・・+a である。

数列 (Sn∈ が極限 S をもつとする。

つまり、limn→∞=S である。

このとき、「(an∈ に対する無限級数は収束する 」 という。

また、S を 『(an∈ に対する無限級数 』 という。

また、次のように表す。



これを S=1≦n≦∞ と表すこともある。

略記して、S=狽 と表すこともある。

あるいは、S=a+a+・・・ と表すこともある。

を 『 S の第 n 部分和 』 という。

1≦n≦∞ や a+a+・・・ は、単なる象徴的な記号であることに注意。

しかし、S を 『 無限回の和 』 と認識する人が多い。

この辺りは論理と直感が混ざってしまうので、非常に誤解が生じやすい。

数学の教科書を読み返せば気付くと思われるが、演算は有限回に対してのみ定義される。

例えば、普通に定義されている和の演算は a+a である。

これを繰り返せば、帰納的に a+・・・+a という具合に n 回までの演算を行うことができる。

しかし、これと無限級数の定義は別物であることに注意せよ。

『 帰納的にいくらでも繰り返せること 』 と 『 無限級数としての無限 』 は意味が異なる。

例えば、通常の和の定義だけでは 0+0+0+・・・ を議論することはできない。

直感的に 「 0+0+0+・・・=0 だろう 」 と考える人がいるかもしれない。

しかし、無限回の演算を行うということは、つまり、演算が終わらないということである。

終わらないはずの演算について演算結果が出ているというのはおかしな話である。

では、無限級数 S とは何なのか?

上にも書いてあるように、S は数列 (Sn∈ の極限である。

それを1≦n≦∞ や a+a+・・・ という記号で表しているのである。

よって、0+0+0+・・・は、数列 0、0+0、0+0+0、・・・ の極限を意味する。

つまり、0+0+0+・・・は、数列 0、0、0、・・・ の極限を意味する。

よって、0+0+0+・・・=0 である。

上記の話は 『 有限がいくらでも大きくなること 』 と 『 無限 』 が異なるという意味で重要である。

例えば、任意の自然数は有限の大きさであるが、自然数全体は無限集合である。

G1

、狽 を無限級数とする。

、狽 は収束するとし、狽=α、狽=βとおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) 煤ia+b)=α+β

(2) 煤ika)=kα

(1)の証明

明らかである。(※A11:極限の四則演算)

(2)の証明

明らかである。(※A11:極限の四則演算)

G2

r>0 に対し、a=rn−1 とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) 0<r<1 ⇒ 狽=1/(1−r)

(2) r≧1 ⇒ 狽=∞

(1)の証明

を 狽 の部分和とする。

いま、S=1+r+r+・・・+rn−1=(1−r)/(1−r)である。

よって、狽=limn→∞=1/(1−r) である。

(2)の証明

いま、S≧n である。

よって、狽=limn→∞=∞ である。

G3 ( 級数に関するコーシーの収束定理 )

を無限級数とする。

を(an∈ の第 n 部分和とする。

このとき、狽 が収束することと、次の条件は同値である。



次のように書き表しても意味は同じである。

補足

(*1)や(*2)を 『 コーシーの判定条件 』 と呼ぶこともある。

つまり、この定理は級数の収束性をテストする。

補足

ちなみに、後の章では 『 関数項級数に関するコーシーの収束定理 』 が登場する。

証明

明らかに、狽 の収束と S の収束は同値である。(※定義:無限級数)

明らかに、(Sn∈ の収束と(*1)は同値である。(※B6:コーシーの収束条件)

(*1)と(*2)は単なる式変形である。

G4

が収束するならば(an∈ は 0 に収束する。

証明

を 狽 の第 n 部分和とする。

いま、狽 は収束するから、次が成り立つ。(※G3)



つまり、



つまり、



つまり、(an∈ は 0 に収束する。

参考

G4 の逆は一般には成り立たない。

つまり、(an∈ が 0 に収束しても、狽 が収束するとは限らない。

補足

この定理は少し意外に思えるのではないだろうか?

逆に言えば、勘や直感で級数の収束・発散を判断することは危険であることが分かる。

証明

成り立つとは限らないことを示すには、何か1つでも反例を挙げればよい。

そこで、次のような級数を考える。



ここで、次のようにおく。



つまり、S は煤i1/n)の第 n 部分和である。

いま、



よって、煤i1/n)は収束しない。(※G3)

G5

が収束するならば、次が成り立つ。

証明

ε>0 とおく。

を 狽 の部分和とする。

いま、次が成り立つ。(※G3)



n>N を1つとって固定する。

k>n に対し、次のようにおく。



j > k > n とすると、



よって、(T(n))j∈ は収束する。(※G3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

そこで、次のように表す。



(*)より、



( 不等号の形に注意 )

一方、k>n−1≧N に注意すると、



よって、



以上により、

定義 ( 絶対収束 )

(an∈ を数列とする。

煤ba|が収束するとする。

このとき、「狽 は絶対収束する 」 という。

G6

が絶対収束するならば 狽 も収束する。

証明

ε>0 とおく。

次のようにおく。



いま、(Tn∈ は収束するから、次が成り立つ。(※G3)



m>n のとき、



よって、



よって、(Sn∈ は収束する。

つまり、狽 は収束する。