εδ論法による関数の連続性・不連続性

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定義 ( 関数の連続性 )

f:I→ を関数とする。

a∈ I に対して、次が成り立つとする。



このとき、「 f は a において連続である 」 という。

定義(関数の極限)の補足では 「 f は a で定義されていなくてもよい 」 と述べた。

一方、今回の定義(関数の連続性)では a は f の定義域に属している。

つまり、『 関数の連続性 』 を考える場合には、関数が x=a で定義されていなければならない。

これは連続性の定義として自然である。

S1

f:I→ を関数とする。

a∈I とする。

次は同値である。



( つまり、(1)〜(4)はいずれも f が a において連続であることを意味する )

(1)⇔(2)の証明

定義(関数の極限)そのままである。

(2)⇔(3)の証明

明らかである。( 定理の仮定より、f が点 a でも定義されていることに注意 )

(3)⇔(4)の証明

これは単なる表記法の問題である。

(3)を詳しく書くと、(4)のように表されるということである。

参考

もし、関数が不連続ならどうなるのだろうか?

この場合はδが存在しないはずである。実際に考えてみよう。

例えば、下図のような関数を考える。



この関数で、f(x) が f(a)±εの範囲に収まるようなδが存在するだろうか?

いや、存在しないだろう。このことは、下図を見れば分かる。

参考 ( 不連続 )

不連続性を論理記号で表してみよう。

f:I→ を関数とする。

f が点 a で連続でないとする。

つまり、f が点 a で連続であることの否定であるから、



つまり、



つまり、



つまり、



つまり、



最後の式変形に違和感をもつ人がいるかもしれない。

しかし、これはとりあえずそういうものとして考えてよい。

実際、最後の論理記号を読み解けば、これは不連続性を意味していると分かるであろう。

最後の式変形について詳しく知りたい人は、集合論の最終章を参照。