閉集合上の微分

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参考

ここまで、開区間(または開集合)上の関数の微分を定義した。

ここでは、閉区間(または閉区間)上の関数についても微分を定義しよう。

定義 ( 閉区間上の微分〜その1 )

I を の閉区間とする。

f:I→ を関数とする。

ある関数 g:J→ が存在して、次を満たすとする。

(1) J は開区間であり、I⊂J である。

(2) 任意の t∈I に対し、f(x)=g(x)である。

(3) g は J 上で微分可能である。

このとき、「 f は I 上で微分可能である 」 という。

定義 ( 閉区間上の微分〜その2 )

[a、b] を の閉区間とする。

f:[a、b]→ を関数とする。

f は(a、b)上で微分可能であるとする。

次の極限が存在するとする。



このとき、「 f は [a、b]上で微分可能である 」 という。

参考

次は同値である。

(1) 定義(閉区間上の微分〜その1)

(2) 定義(閉区間上の微分〜その2)

証明

(1)⇒(2)は明らかである。

(2)を仮定する。

つまり、定義(閉区間上の微分〜その2)の意味で、[a、b]上で微分可能な関数 f を考える。

f のグラフに対して、t=a、b において接線を引き、f を延長した関数を g とする。

つまり、



いま、g は任意の点 t∈ において微分可能である。

g の定義域を適当なところで切り、開区間となるようにする。

いま、g は定義(閉区間上の微分〜その1)の条件(1)〜(3)を満たす。

定義 ( 閉集合上の微分 )

A を の閉集合とする。

f:A→ を関数とする。

ある関数 g:D→ が存在して、次を満たすとする。

(1) D は開集合であり、A⊂D である。

(2) 任意の x∈A に対し、f(x)=g(x)である。

(3) g は D 上で微分可能である。

このとき、「 f は A 上で微分可能である 」 という。