合成関数の微分

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定義

実数を成分としてもつ m×n 行列全体を Mm×n)と表す。

定義 ( 行列のノルム )

A=(aij)∈Mm×n) とする。

次のように定義する。



このとき、|A|を 『 行列 A のノルム 』 という。

E18

A を m×n行列とする。

x∈ とすると、|Ax|≦|A||x|である。

証明

を A の第 i 行ベクトルとする。

いま、Ax の第 i 成分は ax である。

よって、次が成り立つ。(※C3:シュワルツの不等式)

E19 ( 合成関数の微分公式 )

V を の開集合とする。

W を の開集合とする。

f:V→ と g:W→ を関数とする。

f(V)⊂W とする。( つまり、合成関数 g*f を考えることができる )

f は点 x∈V において微分可能であるとする。

g は点 y=f(x) において微分可能であるとする。

このとき、φ=g*f は点 x で微分可能である。

さらに、次が成り立つ。



ただし、x= (x、・・・、x)、y= (y、・・・、y)とする。

また、f(x)、g(y)、φ(x)はそれぞれ f(x)、g(y)、φ(x)の第 i 成分を表すものとする。

補足

(1)や(2)を 『 連鎖律(チェイン・ルール) 』 という。

(1)の証明

いま、次のように表せる。



ここで、ε(0)=0、ε(0)=0 と定義する。

いま、ε(|h|)、ε(|h|)は 0 で連続となる。

k=k(h)=f(x+h)−f(x)と定義する。

いま、f は x で連続である。(※E14)

よって、h→0 とすると、f(x+h)→f(x)である。

よって、h→0 とすると、k(h)→0 である。(★1)

一方、



ここで、次のようにおく。



すると、



一方、E18 より、



よって、|k(h)|/|h|は有界である。(★2)

( ただし、|k(h)|/|h|は h=0 では定義されていない )

また、(*3)、(*1)、(*2)、(★1)、(★2)より、



よって、(*4)、(*5)より、φは点 x で微分可能である。

さらに、(*4)より、φ’(x)=g’(y)f’(x)である。

(2)の証明

これは(1)の式を成分毎に表しただけである。

参考 ( 具体例 )

次のようにおく。



このとき、次が成り立つ。

(1)の解答

E19 に合わせるため、記号を次のように置き換える。



E19 において、n=2、m=1、p=1と考えれば、



記号を元に戻すと、

(2)の解答

(1)と同様である。

参考 ( 具体例 )

次のようにおく。



このとき、次が成り立つ。

(1)の解答

E19 に合わせるため、記号を次のように置き換える。



E19 において、n=2、m=2、p=1と考えれば、



記号を元に戻すと、

(2)の解答

(1)と同様である。

参考

上の例からも分かるように、E19 の公式は p=1の形で使用する場合には次のように表される。

定義 ( ヤコビ行列式 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。( 定義域と終域の次元が同じであることに注意 )

f は点 x∈D で微分可能であるとする。

f’(x)は n次正方行列である。

行列式 detf’(x) を 『 f の x におけるヤコビ行列式 』 という。

これを次のように表す。

補足

つまり、

E20

E19 において、n=m=p とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

線形代数でよく知られているように。、行列A、Bに対して、detAB=detAdetB である。

よって、E19(1)の両辺の行列式をとればよい。

E21

D を の開集合とし、a∈D とする。

f、g:D→ を関数とする。

f、g は a で微分可能であるとする。

このとき、fg も a で微分可能で、(fg)’(a)=f’(a)g(a)+f(a)g’(a)が成り立つ。

証明

次のように定める。



いま、φ*ψ=fg である。

また、ψは点 x で微分可能である。(※E1)

また、



一方、明らかに、φは C級である。

よって、φは 上で微分可能である。(※E17)

よって、fg=φ*ψも点 x で微分可能である。(※E19)

また、次が成り立つ。(※E19)