合成関数の微分[微分積分ver]

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復習 ( 微分可能性 )

f:I→ を1変数スカラー値関数とする。( つまり I⊂ である )

a∈I とおく。

ある定数 A が存在して次のように書けるとする。



次のように書くこともできる。



このとき、「 f は点 a∈I において微分可能である 」 という。

また、A を 『 点 a∈I における微分係数 』 といい、これを f’(a) で表す。

記号 o(x) は x→0 のとき x→0 より速く 0 に収束する関数を意味する。

この記号 o を 『 ランダウ記号 』 といい、「 スモールオー 」 と読む。

ちなみに、ビッグオー O(x) は x→0 のとき x→0 と同程度の速さで 0 に収束する関数を意味する。

復習 ( C級 )

f:D→ を2変数スカラー値関数とする。( つまり D⊂ である )

f は任意の点 (x、y)∈D において偏微分可能であるとする。

偏導関数 f(x、y) と f(x、y) は D 上で連続であるとする。

このとき、「 f は C 級である 」 という。

復習 ( C級⇒全微分可能 )

f:D→ を2変数スカラー値関数とする。( つまり D⊂ である )

f は点 (a、b)∈D において C 級であるとする。

このとき、f は点 (a、b)∈D において全微分可能である。

また、次のように書ける。

P1 ( 合成関数の微分公式[その1])

f:I→ と φ:I を1変数スカラー値関数とする。

φ(I)⊂I であるとする。

つまり、合成関数 f*φ:I を定義できる。

f(x)は I 上で C 級であるとする。

φ(t)は I 上で微分可能であるとする。

このとき、

補足

次のように表してもよい。

証明

∈I とおき、x=φ(t)∈J とおく。

t∈I とおき、x=φ(t)∈J とおく。

いま、次のように書ける。(※定義:微分)



むろん、これを次のように書ける。



よって、



つまり、



いま、t→t のとき x=φ(t)→x=φ(t)である。

よって、



つまり、



固定させていた t を動かすと、

P2 ( 合成関数の微分公式[その2])

f:D→ を2変数スカラー値関数とする。( つまり D⊂ である )

Γ:I→ を1変数2次元ベクトル値関数とする。( つまりΓは2次元曲線である )

Γ(I)⊂D であるとする。

つまり、Γと f の合成関数 f*Γ:I→ を考えることができる。

f(x、y)は D 上で C 級であるとする。

Γ(t)は I 上で微分可能であるとする。

このとき、

補足

むろん、次のように書ける。



あるいは、

証明

∈I、(a、b)=Γ(t)∈D とおく。

t∈I、(x(t)、y(t))=Γ(t)∈D とおく。

いま、次のように書ける。(※定義:微分)



つまり、



一方、次のように書ける。(※復習:C級⇒全微分可能)



(*2)に(*1)を代入すると、



よって、

証明

ただし、(*3)を得るときには次のことを用いた。



つまり、

P3 ( 合成関数の微分公式[その3])

f:D→ を2変数スカラー値関数とする。( つまり D⊂ である )

φ:U→ を2変数2次元ベクトル値関数とする。( つまり U⊂ である )

φ(U)⊂D であるとする。

つまり、合成関数 f*φ:U→ を考えることができる。

f(x、y)は D 上で C 級であるとする。

φ(u、v)は U 上で偏微分可能であるとする。

このとき、



証明

∂(f*φ)/∂u は f*φ(u、v) の変数 v を固定して u で微分することを意味する。(※定義:偏微分)

つまり、φ(u、v)は1変数関数と見なせる。

よって、次を得る。(※P3:合成関数の微分公式[その2])