最大値・最小値の定理

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D12 ( 最大値・最小値の定理 )

K を の有界閉集合とする。

K≠φとする。

f:K→ を連続関数とする。

このとき、f は K 上で最大値・最小値をもつ。

補足

『 有界閉集合 』 を 『 点列コンパクト 』 または 『 コンパクト 』 に言い換えてもよい。(※C20)

補足

例えば、n=1 として K を閉区間とすると、今回の定理を適用できる。

つまり、有界閉区間上の連続関数は最大値・最小値をもつ。

証明

(yn∈⊂f(K)を点列とする。

いま、各 y に対し、ある x∈K が存在して、y=f(x)となる。

また、(xn∈⊂K である。

また、K は点列コンパクトである。(※C20)

よって、ある収束部分列(xρ(n)n∈ が存在して、その極限 x は K に属する。

また、f は x で連続である。

よって、limn→∞ρ(n)=limn→∞f(xρ(n))=f(x)である。(※D1)

むろん、f(x)∈f(K)である。

よって、limn→∞ρ(n)∈f(K)である。

以上により、(yn∈ は収束部分列をもち、その極限は f(K)に属する。

よって、f(K)は点列コンパクトである。

よって、f(K)は有界である。(※C20)

( つまり、f は有界である )

よって、supf(K)が存在する。(※B1:上限・下限の存在)

そこで、b=supf(K)とおく。

いま、任意の n∈ に対し、ある z∈f(K)が存在して、z∈[b−1/n、b)となる。(※定義:上限)

また、(zn∈⊂f(K)は b に収束する。

いま、f(K)は閉集合である。

よって、b∈f(K)である。(※C15)

よって、ある x∈K が存在して、b=f(x)となる。

また、b は f(K)の上限である。

つまり、b は f(K)の上限であり、かつ b∈f(K)である。

よって、b は f(K)の最大値である。(※A4)

( 最小値については、supf(K)の代わりに inff(K)を考えれば同様に示される )

参考

今回の定理によって最大値・最小値の存在条件が分かった。

逆に言えば、関数が有界であっても、最大値・最小値が存在するとは限らない。

ただし、上限・下限は必ず存在する。(※B1)