方向微分、偏微分

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定義 ( 方向微分 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

x∈D とおく。

e∈ とおく。

g:(−ε、ε)→ を g(t)=f(x+te)で定義する。( ただしε>0 である )

g が t=0 で微分可能であるとする。

このとき、「 f は点 x で e 方向に微分可能である 」 という。

g’(0) を 『 e 方向の微分係数 』 という。

g’(0) を (Df)(x) と表す。

E7

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

:D→ を f の第 i 成分とする。( つまり、f(x)=(f(x)、・・・、f(x))である )

このとき、次は同値である。

(1) f は点 x で e 方向に微分可能である。

(2) f、・・・、f は点 x で e 方向に微分可能である。

とくに、(1)または(2)が成り立つとき、次が成り立つ。

証明

g(t)=f(a+te)と定め、g(t)に対して E1 を使用すればよい。

定義 ( 自然基底 )

、・・・、e を次のように定義する。



このとき、{e、・・・、e} を 『 自然基底 』 という。

明らかに、任意の x∈ は x=x+・・・+x ( x、・・・、x ) と表せる。

を 『 x の第 i 座標 ( 第 i 成分 )』 という。

定義 ( 偏微分 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

{e、・・・、e} を自然基底とする。

f は点 x∈D で e 方向に微分可能であるとする。

このとき、「 f は点 x で x に関して偏微分可能である 」 という。

(Deif)(x)を 『 f の x における x に関する偏微分係数 』 という。

これを次のように表す。

定義 ( 偏導関数 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

f は D 上で x に関して偏微分可能であるとする。

つまり、任意の点 x∈D に対し、次のような偏微分係数が定まる。



いま、∂f/∂x は D 上の関数と見なされる。

このとき、∂f/∂x を 『 f の x に関する偏導関数 』 という。

定義 ( 2階導関数 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

f は D 上で x に関して偏微分可能であるとする。

いま、次の関数が定義される。



さらに、∂f/∂x が D 上で x に関して偏微分可能であるとする。

いま、次の関数が定義される。



とくに、i=j のとき、次のように表す。



また、(1)や(2)を 『 f の2階偏導関数 』 という。

同様に、k=3、4、・・・ に対して 『 f の k 階偏導関数 』 が定義される。

E8 ( 偏微分の順番は可換 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

いま、D上で次の偏導関数が存在するとする。



これらは点 c において連続であるとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

m=1の場合について証明すれば十分である。(※E1)

また、i=1、j=2 として証明しても一般性を失わない。

さらに、簡略化のため、x=x とし、x=y とする。

c=(a、b)とおく。

(h、k)を十分に小さくとれば、c+(h、k)∈D となる。(※C14)

g(x)=f(x、b+k)−f(x、b)とおく。

いま、g’(x)=f(x、b+k)−f(x、b)である。

また、あるθ、θ’∈(0、1)が存在して、次を満たす。(※平均値の定理)



上式の左辺は長いので、これをΔ(h、k)とおく。

いま、fxy は c において連続である。

よって、



x と y の役割を入れ替えて同様に議論すると、



よって、fxy(c)=fyx(c)である。