C1級⇒全微分可能⇒偏微分可能

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復習 ( 全微分 )

f:D→ を2変数スカラー値関数とする。( つまり D⊂ である )

(a、b)∈D とおく。

ある定数 A と B が存在して次をみたすとする。



このとき、「 f は点(a、b)において全微分可能である 」 という。

記号 o はランダウ記号であり、これを 「 スモールオー 」 と読む。

o(x)は x→0 のとき x→0 より速く 0 に収束する関数を意味する。

むろん、limx→0o(x)/x=0 である。

よって、



定義 ( 偏微分 )

f:D→ を2変数スカラー値関数とする。( つまり D⊂ である )

(a、b)∈D とおく。

次の2つの極限が存在するとする。



むろん、次のように書ける。



このとき、「 f は点(a、b)で偏微分可能である 」 という。

また、極限 A と B を次のように表す。

任意の点 (x、y)∈D で f が偏微分可能であるとき 「 f は D 上で偏微分可能である 」 という。

むろん、∂f の偏微分として ∂f や ∂f を考えることができる。

むろん、∂f の偏微分として ∂f や ∂f を考えることができる。

これらを総称して 『 f の2階偏微分 』 という。

同様に 『 f の n 階偏微分 』 を考えることができる。

定義 ( 偏導関数 )

f:D→ を2変数スカラー値関数とする。( つまり D⊂ である )

f は D 上で偏微分可能であるとする。

つまり、任意の点 (x、y)∈D に対して次の極限が存在する。



いま、∂f/∂x と ∂f/∂y を D 上の2変数スカラー値関数と見なせる。

∂f/∂x:D→ を 『 f の x に関する偏導関数 』 という。

∂f/∂y:D→ を 『 f の y に関する偏導関数 』 という。

偏微分と同様に 『 n階導関数 』 を考えることができる。

定義 ( C級 )

f:D→ を2変数スカラー値関数とする。( つまり D⊂ である )

f は任意の点 (x、y)∈D において偏微分可能であるとする。

偏導関数 f(x、y) と f(x、y) は D 上で連続であるとする。

このとき、「 f は C 級である 」 という。

同様に 『 C級 』 を定義できる。

つまり、n階導関数までが存在して連続であるとき 「 f は C 級である 」 という。

上で定義されているように C 級は領域に対して定義される。

なぜなら、偏導関数が一点においてのみ存在するなどということはないからである。

ただし 「 f が点 (a、b) において C 級である 」 と言い表すこともある。

これは f が点(a、b)の近傍で C 級であることを意味する。

f が1変数である場合、f が C 級であることは導関数 f’(x) が連続であることを意味する。

P1 ( 全微分可能⇒偏微分可能 )

f:D→ を2変数スカラー値関数とする。( つまり D⊂ である )

f は点 (a、b)∈D において全微分可能であるとする。

このとき、f は点(a、b)で偏微分可能である。

補足

つまり、関数 f が D 上で全微分可能ならば D 上で偏微分可能である。

証明

y=b を固定して x 軸方向で極限を考える。

いま、次のように書ける。(※定義:全微分)



つまり、



つまり、



これは f が x 軸方向に偏微分可能であることを意味する。

y 軸方向の偏微分可能性も同様に示される。

P2 ( C級⇒全微分可能 )

f:D→ を2変数スカラー値関数とする。( つまり D⊂ である )

f は点 (a、b)∈D において C 級であるとする。

このとき、f は点 (a、b)∈D において全微分可能である。

また、次のように書ける。

補足

つまり、関数 f が D 上で C級ならば f は D 上で全微分可能である。

補足

つまり、「 C級⇒全微分可能⇒偏微分可能 」 である。(※P1)

証明

(x、y)∈D を点とし、これは点(a、b)∈D の近傍に位置するとする。

いま、偏導関数 f と f は連続である。

よって、ある ξ ( ただし a<ξ<x ) が存在して次をみたす。(※平均値定理)



また、ある ξ ( ただし b<ξ<y ) が存在して次をみたす。(※平均値定理)



ここで、Δx=x−a、Δy=y−b、A=f(a、b)、B=f(a、b)とおく。

いま、次のように計算できる。(※三角不等式|a+b|≦|a|+|b|)



よって、



つまり、次のように書ける。



つまり、



これは f が全微分可能であることを意味する。