開集合と閉集合〜その1

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定義 ( 開集合 )

A を の部分集合とする。

A=A であるとする。

このとき、A を 『 開集合 』 という。

定義 ( 閉集合 )

A を の部分集合とする。

A= であるとする。

このとき、A を 『 閉集合 』 という。

C14 ( 開集合に対する同値条件 )

A を の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は開集合である。

(2) 任意の点 x∈A に対し、あるε>0 が存在して、S(x、ε)⊂A となる。

補足

(2)を開集合の定義として採用している本も多い。

証明

明らかである。(※定義:開集合、内部)

C15 ( 閉集合に対する同値条件 )

A を の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は閉集合である。

(2) 任意の点列(xn∈⊂A の極限は A に属する。

補足

(2)を閉集合の定義として採用している本も多い。

証明

(1)を仮定する。

(xn∈⊂A を点列とする。

x を(xn∈ の極限とする。

いま、x∈ である。(※C11)

また、=A である。

よって、x∈A である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

x∈ とおく。

いま、点列(xn∈⊂A が存在して、x に収束する。(※C11)

よって、x∈A である。(※定理の仮定)

以上により、x∈ ⇒ x∈A である。

つまり、⊂A である。

一方、A⊂ である。(※C12)

よって、A= である。

C16

A を の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は閉集合である。

(2) A は開集合である。

また、次は同値である。

(3) A は開集合である。

(4) A は閉集合である。

(1)⇔(2)の証明

C12、C13(1) より、



最後の式は A が開集合であることを意味する。

(3)⇔(4)の証明

A=(A に注意すれば、(1)⇔(2)より明らかである。