開集合と閉集合〜その2

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C17

の開集合全体とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

ただし、J は任意の集合である。

つまり、J は有限集合でもよいし、無限集合でもよい。

補足

定理の内容を言葉で書き下すと、

(1) φ、 は開集合である。

(2) U と U が開集合ならば、U∩U は開集合である。

(3) 任意のλ∈J に対して Uλ が開集合ならば、∪λ∈Jλ は開集合である。

(1)の証明

明らかに、 は開集合である。(※C14)

明らかに、 は閉集合である。(※C15)

よって、φは開集合である。(※C16)

(2)の証明

x∈U∩U とおく。

いま、x∈U である。

よって、あるε>0 が存在して、S(x、ε)⊂U となる。(※C14)

いま、x∈U である。

よって、あるε>0 が存在して、S(x、ε)⊂U となる。(※C14)

ε=min{ε、ε}とおく。

いま、S(x、ε)⊂U∩U である。

以上により、任意の x∈U∩U に対し、あるε>0 が存在して、S(x、ε)⊂U∩U である。

よって、U∩U は開集合である。(※C14)

(3)の証明

x∈Uλ∈Jλ とおく。

いま、あるλ∈J が存在して、x∈Uλ となる。

いま、Uλ は開集合である。

よって、あるε>0 が存在して、S(x、ε)⊂Uλ となる。(※C14)

むろん、Uλ⊂∪λ∈Jλ である。

よって、S(x、ε)⊂∪λ∈Jλ である。

以上により、任意の x∈∪λ∈Jλ に対し、あるε>0 が存在して、S(x、ε)⊂∪λ∈Jλ である。

よって、∪λ∈Jλ は開集合である。(※C14)

C18

の閉集合全体とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

既に示したように、φ、 は開集合である。(※C17)

よって、φ、 は閉集合である。(※C16)

(2)の証明

、F を閉集合とする。

いま、F、F は開集合である。(※C16)

よって、F∩F は開集合である。(※C17)

よって、(F∩F は閉集合である。(※C16)

一方、(F∩F=F∪F である。

よって、F∪F は閉集合である。

(3)の証明

任意のλ∈J に対し、Fλ は閉集合であるとする。

いま、任意のλ∈J に対し、Fλ は開集合である。(※C16)

よって、∪λ∈Jλ は開集合である。(※C17)

よって、(∪λ∈Jλ は閉集合である。(※C16)

一方、(∪λ∈Jλ=∩λ∈Jλ である。

よって、∩λ∈Jλ は閉集合である。

参考

の開集合全体とする。

、U、U とする。

いま、U∩U である。(※C17)

よって、(U∩U)∩U である。(※C17)

同様に、U∩(U∩U)∈ である。

よって、U∩U∩U と書いてよい。

同様に、U∩・・・∩U である。

なので、C17 の式を次のように書いてもよい。



ここで、J= の場合について考えてみよう。

すると、



とくに、(2)と(3)の違いに注意しよう。

(2)によれば、有限個の開集合の共通部分は開集合になる。

ただし、無限個の開集合の共通部分が開集合になるとは限らない。

一方、(3)によれば、無限個の開集合の和集合は開集合になる。