ε近傍

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定義(ε近傍)

a∈ とおく。

ε>0 とおく。

次のように定義する。



これを 『 a のε近傍 』 という。

あるいは 『 a を中心とするε開球 』 という。

つまり、S(a、ε)は点 a からε以内にある点全体である。

参考

明らかに、次は同値である。

(1) x∈S(a、ε)

(2) |x−a|<ε

定義 ( 内部 )

A を の部分集合とする。

a∈A とおく。

あるε>0 が存在して、S(a、ε)⊂A となるとする。

このとき、a を 『 A の内点 』 という。

A の内点全体を A と表す。

を 『 A の内部 』 という。

定義 ( 閉包 )

A を の部分集合とする。

x∈ とおく。

任意のε>0 に対し、S(x、ε)∩A≠φであるとする。

このとき、点 x を 『 A の触点 』 という。

A の触点全体を と表す。

を 『 A の閉包 』 という。

定義 ( A における点列 )

A を の部分集合とする。

(an∈ の点列とする。

任意の n∈ に対し、a∈A であるとする。

このとき、(an∈⊂A と表す。

また、(an∈ を 『 A における点列 』 という。

参考

A を の部分集合とする。

(an∈⊂A を点列とする。

(an∈ は収束するとする。

このとき、(an∈ の極限が A に属するとは限らない。

例えば、下図のような場合である。



同様の話は数列の極限のところでもしている。(※A9の補足)

C11 ( 触点の同値条件 )

A を の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) x∈

(2) ある点列(xn∈⊂A が存在して、x に収束する。

補足

(1)⇒(2)は B7 の一般化である。

実際、証明も同じである。

証明

(1)を仮定する。

x∈ とおく。

いま、任意の n∈ に対し、A∩S(x、1/n)≠φである。(※定義:閉包)

そこで、x∈A∩S(x、1/n)とおく。

こうして、点列(xn∈⊂A を構成できる。

いま、x→x ( n→∞ ) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、任意のε>0 に対し、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|x−x|<εとなる。

つまり、任意のε>0 に対し、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒x∈S(x、ε)となる。

また、x∈A である。

よって、任意のε>0 に対し、A∩S(x、ε)≠φである。

つまり、x∈ である。

C12 ( 閉包の性質 )

A、B を の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

x∈A とおく。

いま、任意のε>0 に対し、A∩S(x、ε)≠φである。

( なぜなら、x∈A かつ x∈S(x、ε)だからである )

つまり、x∈ である。(※定義:閉包)

以上により、x∈A ⇒ x∈ である。

つまり、A⊂ である。

(2)の証明

x∈ とおく。

いま、任意のε>0 に対し、A∩S(x、ε)≠φである。(※定義:閉包)

また、A⊂B である。

よって、B∩S(x、ε)≠φである。

つまり、x∈ である。(※定義:閉包)

以上により、x∈ ⇒ x∈ である。

つまり、 である。

(3)の証明

(1)、(2)より、 である。(★1)

x∈ とおく。

いま、任意のε>0 に対し、∩S(x、ε/2)≠φである。

そこで、y∈∩S(x、ε/2)とおく。

いま、y∈ である。

つまり、A∩S(y、ε/2)≠φである。

そこで、z∈A∩S(y、ε/2)とおく。

いま、y∈S(x、ε/2)、z∈S(y、ε/2)である。

つまり、|x−y|<ε/2、|y−z|<ε/2 である。

よって、|x−z|≦|x−y|+|y−z|<ε/2+ε/2=εである。(※C4)

つまり、z∈S(x、ε)である。

いま、z∈A である。

よって、z∈A∩S(x;ε)である。

よって、任意のε>0 に対し、A∩S(x;ε)≠φである。

つまり、x∈ である。

以上により、x∈ ⇒ x∈ である。

つまり、 である。(★2)

(★1)、(★2)より、 である。

(4)の証明

明らかに、A⊂A∪B かつ B⊂A∪B である。

よって、(2)より、A∪B かつ A∪B である。

よって、A∪B である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈A∪B とおく。

いま、点列(xn∈⊂A∪B が存在して、x→x ( n→∞ ) となる。(※C11)

また、A と B のうち少なくとも一方は無限個の x を含む。

A が無限個の x を含む場合について考える。

これによって x の部分列(yn∈ を構成する。

いま、(yn∈⊂A であり、(yn∈ は x に収束する。

よって、x∈ である。(※C11)

B が無限個の x を含んでいる場合も同様に議論できる。

よって、x∈ である。

以上により、x∈A∪B ⇒ x∈ である。

つまり、A∪B である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、A∪B である。

C13 ( 内部の性質 )

A、B を の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

微分積分インデックスではこれらの関係はほとんど使用しないが、紹介のために書いた。

証明は省略する。

詳しい証明を知りたい人は、距離空間論のページを参照。

ただし、(1)は明らかであろう。(※定義:内部)

以下の議論では(1)のみを使用する。