Ck級、高階偏導関数

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定義 ( 1変数の C 級 )

I を の開区間とする。

f:I→ を関数とする。

f の k 階までの導関数が存在して I 上で連続であるとする。

このとき、「 f は C 級である 」 という。

とくに、f が任意の k∈ に対して C 級ならば 「 f は C 級である 」 という。

ちなみに、I 上で C級の関数全体を C(I)と表す。

また、I 上で連続な関数全体を C(I)と表す。

これは C を C で表しているのだと考えれば意味が通る。

定義 ( 多変数の C 級 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

f の k 階までのすべての偏導関数が存在して D 上で連続であるとする。

このとき、「 f は C 級である 」 という。

とくに、f が任意の k∈ に対して C 級ならば 「 f は C 級である 」 という。

ちなみに、D上で C級の関数全体を C(D)と表す。

また、D上で連続な関数全体を C(D)と表す。

これは C を C で表しているのだと考えれば意味が通る。

E9

D を の開集合とする。

f:D→ を C 級関数とする。

このとき、f の k 階までのすべての偏導関数は偏微分の順番に依存しない。

証明

これは E8 から帰納的に示される。