n次元ユークリッド空間

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定義 ( R

、・・・、x を d 個の実数とする。

x=(x、・・・、x)とおく。

このとき、x を 『 d 次元ベクトル 』 という。

また、d 次元ベクトル全体を と表す。

の元を 『 点 』 という。

を 『 x の第 i 成分 』 という。

とくに、(0、・・・、0) を 0 と表す。

また、(−x、・・・、−x)を −x と表す。

定義 ( 点の相等 )

x、y∈ とおく。

x=(x、・・・、x)、y=(y、・・・、y)とおく。

=y、・・・、x=y であるとする。

このとき、x=y と表す。

定義 ( 和とスカラー倍 )

x、y∈ とおく。

いま、x=(x、・・・、x)、y=(y、・・・、y)とおく。

a を実数とする。

次のように定義する。

(1) x+y=(x+y、・・・、x+y

(2) ax=(ax、・・・、ax

明らかに、定義(和とスカラー倍)によって はベクトル空間になる。

ベクトル空間を知らない人は気にしなくてよい。

後の理解に影響が出るわけではない。

定義 ( 内積 )

x、y∈ とおく。

x=(x、・・・、x)、y=(y、・・・、y)とおく。

次のように定義する。

(*) (x、y)=x+・・・+x

このとき、(・、・)を 『 内積 』 という。

参考

(・、・)を、(・|・) や <・、・> のように表す本もある。

これらの表記は、開区間(a、b)と区別しやすいので便利である。

しかし、文脈上、内積と開区間を混同する心配はないであろう。

なので、このサイトでは、内積を(・、・)で表す。

参考

a、b∈ とおく。

高校では内積を次のように定義する。

(*1) (a、b)=|| a ||・|| b ||cosθ

ただし、|| ・ || はベクトルの長さを意味する。

また、θ は a と b の交角であるとする。

実は、この(・、・)は定義(内積)と一致する。

つまり、定義(内積)は、高校の内積の一般化である。

両者が一致することは簡単な計算によって示される。

しかし、議論の本筋から外れるのでここでは省略する。

C1 ( 内積の性質 )

x、y、z∈ とおく。

a∈ とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) (x、x)≧0 ( (x、x)=0 ⇔ x=0 )

(2) (x、y)=(y、x)

(3) (x+y、z)=(x、z)+(y、z)、(x、y+z)=(x、y)+(x、z)

(4) (ax、y)=a(x、y)=(x、ay)

補足

ちなみに、線形代数ではこれらの性質を公理として採用する。

ベクトル空間に内積を入れたものを 『 内積空間 』 という。

(1)の証明

x=(x、・・・、x)とおく。

いま、(x、x)=x+・・・+x である。

よって、(x、x)≧0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(x、x)=0 と仮定する。

いま、x+・・・+x=0 である。

よって、x=0、・・・、x=0 である。

よって、x=0 である。

以上により、(x、x)=0 ⇒ x=0 である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x=0 と仮定する。

いま、(x、x)=0+・・・+0=0 である。

よって、x=0 ⇒ (x、x)=0 である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、(x、x)=0 ⇔ x=0 である。

(2)の証明

(x、y)=x+・・・+x=y+・・・+y=(y、x)である。

(3)の証明

(x+y、z)=(x+y)z+・・・+(x+y)z=(x、z)+(y、z)である。

(4)の証明

(ax、y)=ax+・・・+ax=a(x、y)である。

定義 ( ノルム )

x∈ とおく。

次のように定義する。



このとき、|・|を 『 ノルム 』 という。

n=1で について議論しているとき、ノルムは絶対値と一致する。

関数解析などでは|・|を || ・ || と表すことが多い。

微分積分の場合には1変数を考えたり、多変数を考えたりと、 を往来することが多い。

なので、微分積分では|・|を用いることにする。

C2 ( 余弦定理、中線定理 )

x、y∈ とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) |x±y|=|x|±2(x、y)+|y|

(2) |x+y|+|x−y|=2(|x|+|y|

補足

(1)を 『 余弦定理 』 という。

(2)を 『 中線定理 』 という。

(1)の証明

C1 より、



(2)の証明

(1)より、

(*1) |x+y|=|x|+2(x、y)+|y|

(*2) |x−y|=|x|−2(x、y)+|y|

両辺を足し合わせれば、定理の式が得られる。

C3 ( シュワルツの不等式 )

x、y∈ とおく。

このとき、次が成り立つ。

(*) |(x、y)|≦|x||y|

とくに、x と y の一方が他方のスカラー倍であるときのみ、等号が成り立つ。

証明

x=0 の場合、(*)が成り立つことは明らかである。

x≠0 の場合について考える。

t∈ として、2次式|x|−2(x、y)t+|y| を考える。

いま、|x|−2(x、y)t+|y|=|tx−y|≧0 である。(※C2)

よって、この2次式の判別式は D≦0 である。

いま、D/4=(x、y)−|x||y| である。

よって、(x、y)≦|x||y| である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*)で等号が成り立つのは、D=0 となる場合のみである。

つまり、ある t∈ が存在して、y=tx となる場合のみである。

C4 ( ノルムの性質 )

x、y∈ とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) |x|≧0 (|x|=0 ⇔ x=0 )

(2) |x+y|≦|x|+|y|

(3) |ax|=|a||x| ( a∈

とくに、(2)を 『 3角不等式 』 という。

(1)の証明

明らかである。(※C1)

(2)の証明

C2、C3(シュワルツの不等式)より、

(3)の証明

明らかである。(※C1)

定義 ( 距離 )

x、y∈ とおく。

次のように定義する。

(*) d(x、y)=|x−y|

このとき、d(・、・)を 『 距離 』 という。

C5 ( 距離の性質 )

x、y、z∈ とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) d(x、y)≧0 ( d(x、y)=0 ⇔ x=y )

(2) d(x、y)=d(y、x)

(3) d(x、z)≦d(x、y)+d(y、z)

とくに、(3)を 『 3角不等式 』 という。

補足

ちなみに、距離空間論では、これらの性質を公理として採用する。

集合に距離を入れたものを 『 距離空間 』 という。

(1)の証明

明らかである。(※C4)

(2)の証明

d(x、y)=|x−y|=|−(y−x)|=|−1||y−x|=|y−x|=d(y、x)である。(※C4)

(3)の証明

d(x、z)=|x−z|=|(x−y)+(y−z)|≦|x−y|+|y−z|=d(x、y)+d(y、z)である。(※C4)

C6 ( 二点間の距離 )

x=(x、・・・、x)、y=(y、・・・、y)∈ とおく。

このとき、

証明

定義(距離)、定義(ノルム)、定義(内積)より、

参考

このページの流れをまとめると、次のようになる。

(1)  に内積を導入した。

(2) 内積からノルムを構成した。

(3) ノルムから距離を構成した。

このように、 に距離(あるいは内積やノルム)を導入したとき、 を 『 ユークリッド空間 』 という。

「 内積→ノルム→距離 」 という流れは関数解析などの基礎である。