連結性と領域

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参考

連結性と中間値の定理は関連性が深い。

定義 ( 直和 )

X を集合とする。

A、B を X の部分集合とする。

X=A∪B かつ A∩B=φであるとする。

このとき、「 X は A と B の直和である 」 という。

定義 ( 連結 )

D を の開集合とする。

ある開集合 V、W が存在して、次が成り立つとする。

(*) V∪W=D、V∩W=φ、V≠φ、W≠φ

このとき、「 D は連結でない 」 という。

つまり、開集合が2つの(空でない)開集合の直和で表されるとき、D は連結でない。

逆に、D が連結であるとは、D を2つの(空でない)開集合の直和で表されないことを意味する。

定義 ( 領域 )

連結な開集合を 『 領域 』 という。

定義 ( 弧状連結 )

A を の部分集合とする。

任意の2点 p、q∈A に対し、ある連続関数Γ:[a、b]→ が存在して次を満たすとする。

(1) Γ(a)=p

(2) Γ(b)=q

(3) Γ[a、b]⊂A

このとき、「 A は弧状連結である 」 という。

また、Γ を 『 A 内で p と q を結ぶ連続曲線 』 という。

定義 ( 線分 )

p、q∈ とおく。

[p、q]={ p+t(q−p)|0≦t≦1 } と定義する。

このとき、[p、q] を 『 p と q を結ぶ線分 』 という。

定義 ( 折れ線曲線 )

I=[a、b] を の有界閉区間とする。

f:I→ を連続関数とする。

a=a<a<・・・<a=b を [a、b] の分割とする。

f は各小区間 [ ai−1、a ] 上で1次関数であるとする。

このとき、f を 『 折れ線曲線 』 という。

つまり、折れ線曲線とは、有限個の線分をつないで構成される連続曲線である。

以下、連続曲線を 『 曲線 』 と呼ぶ。

D13 ( 連続関数で結ぶことは同値関係 )

x、y∈ とおく。

x と y を曲線によって結ぶことができるという関係を x〜y で表す。

このとき、次が成り立つ。

(1) x〜x

(2) x〜y ⇒ y〜x

(3) x〜y かつ y〜z ⇒ x〜z

補足

曲線を折れ線曲線に置き換えても同様のことが成り立つ。

補足

上記のような関係(1)〜(3)を満たすような関係を 『 同値関係 』 という。

証明

x∈ とおく。

Γ:[0、1]→{x} と定める。( つまり、Γは定値関数である )

いま、Γ は x と x を結ぶ曲線である。

よって、x〜x である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x、y∈ に対し、x〜y であるとする。

いま、ある曲線Γ:[0、1]→ が存在して、Γ(0)=x かつ Γ(1)=y となる。

−Γ:[0、1]→ を (−Γ)(t)=Γ(1−t) で定める。

いま、−Γ は y と x を結ぶ曲線である。

よって、y〜x である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x、y、z∈ に対し、x〜y かつ y〜z であるとする。

いま、ある曲線 Γ:[0、1]→ が存在して、Γ(0)=x かつ Γ(1)=y となる。

また、ある曲線 Γ:[0、1]→ が存在して、Γ(0)=y かつ Γ(1)=z となる。

ここで、次のように定める。



いま、Γ は x と z を結ぶ連続曲線である。

よって、x〜z である。

D14 ( 連結性⇔弧状連結 )

D を の開集合とする。

D は空でないとする。

このとき、次は同値である。

(1) D は連結である。

(2) D は弧状連結である。

(3) 任意の点 x、y∈D は D 内の折れ線曲線で結ばれる。

補足

この証明は少し長いので初学者は読まなくてもよい。

(1)⇒(3)の証明

a∈U とおく。

A={ x∈D|a と x は D 内の折れ線曲線で結べる } とおく。

B={ x∈D|a と x は D 内の折れ線曲線で結べない } とおく。

いま、D は A と B の直和である。

また、D は開集合である。

よって、任意の x∈D に対し、あるε>0 が存在して、S(x、ε)⊂D となる。

y∈S(x、ε)とおく。

明らかに、[x、y]⊂S(x、ε)である。

いま、[x、y]⊂D である。

よって、次の(*1)と(*2)は同値である。

(*1) x と a が D 内の折れ線曲線で結べる。

(*2) y と a が D 内の折れ線曲線で結べる。

よって、x∈A ならば y∈A である。

よって、x∈A ならば S(x、ε)⊂A である。

よって、A は開集合である。(※C14)(★1)

同様に、x∈B ならば y∈B である。

よって、x∈B ならば S(x、ε)⊂B である。

よって、B は開集合である。(※C14)(★2)

さらに、既に述べたように、D は A と B の直和である。(★3)

さらに、仮定より、A≠φである。(★4)

さらに、いま、D は連結である。(★5)

よって、(★1)〜(★5)より、B=φである。(※定義:連結性)

よって、D=A である。

よって、任意の x∈D は D 内の折れ線曲線によって点 a∈D と結ばれる。

x、y∈D とおく。

いま、x〜a かつ y〜a である。

よって、x〜y である。(※D13)

(3)⇒(2)の証明

折れ線曲線は連続曲線である。

よって、明らかである。

(2)⇒(1)の証明

D は連結でないとする。(背理法)

いま、ある開集合 A、B が存在して次を満たす。

(*1) D は A と B の直和である。

(*2) A≠φかつ B≠φ

p∈A、q∈B とおく。

仮定より、ある連続関数 Γ:[0、1]→D が存在して、f(0)=p、f(1)=q となる。

K={ t∈[0、1]; Γ(t)∈A } とおく。

いま、0∈K である。

よって、K≠φである。

また、1 は K の上界である。

よって、supK は存在する。(※B1:上限・下限の存在)

c=supK とおく。

いま、0≦c≦1 である。(★1)

いま、A、B は開集合である。

よって、あるε>0 が存在して、S(p、ε)⊂A かつ S(q、ε)⊂B となる。

いま、Γ は t=0、1 で連続である。

よって、あるδ>0 が存在して、次の(*3)、(*4)を満たす。(※D4)

(*3) Γ[0、δ)⊂S(p、ε)⊂A

(*4) Γ(1−δ、1]⊂S(p、ε)⊂B

(★1)、(*3)、(*4)より、0<c<1 である。

いま、Γ(c)∈D である。

また、D は A と B の直和である。

よって、次のいずれか一方が成り立つ。

(*5) Γ(c)∈A

(*6) Γ(c)∈B

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*5)の場合について考える。

いま、Γ は c において連続である。

また、A は開集合である。

よって、あるε>0 が存在して、Γ(S(c、ε))⊂A となる。(※D4)

これは c よりも大きな元が K に属することを意味する。

しかし、c は K の上界である。

よって、これは矛盾である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*6)の場合について考える。

いま、Γ は c において連続である。

また、B は開集合である。

よって、あるε>0 が存在して Γ(S(c、ε))⊂B となる。(※D4)

いま、c=supK である。

よって、c のいくらでも近くに K の元が存在する。(※B7)

よって、x∈S(c、ε)∩K とおくことができる。

いま、x∈S(c、ε)であるから Γ(x)∈B である。

また、x∈K であるから Γ(x)∈A である。

これは A∩B=φ に矛盾する。

D15

は連結である。

証明

明らかである。(※D14)

参考

結局、領域とは1つにつながった開集合を意味する。(※D14)

領域は複素解析などでも重要である。