リーマン可積分

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F2

A、B を の部分集合とする。

任意の a∈A、b∈B に対し、a≦b であるとする。

このとき、supA≦infB である。

証明

b∈B とおく。

いま、任意の a∈A に対し、a≦b である。

よって、supA≦b である。

つまり、任意の b∈B に対し、supA≦b である。

よって、supA≦infB である。

定義 ( L(Δ、f)、U(Δ、f) )

I=[a、b] を の閉区間とする。

Δ:a=x<x<・・・<xn−1<x=b を [a、b] の分割とする。

=[x、xk−1] とおく。

|I|=|x−xk−1|とおく。( つまり、|I|は I の幅である )

f:I→ を関数とする。

各 I 上での f の下限を m と表す。

各 I 上での f の上限を M と表す。

次のように定義する。

むろん、L(Δ、f)≦U(Δ、f)である。

定義 ( L(f)、U(f) )

L(f)=supΔL(Δ、f)と定義する。

U(f)=infΔU(Δ、f)と定義する。

supΔL(Δ、f) は、任意の分割Δを考え、L(Δ、f)の上限をとるという意味である。

つまり、L(f) は 『 下限全体の上限 』 である。

定義 ( リーマン可積分 )

f:I→ を関数とする。

任意のε>0 に対し、I の分割 Δ が存在して、U(Δ、f)−L(Δ、f)<εとなるとする。

このとき、「 f は I 上でリーマン可積分である 」 という。

あるいは 「 リーマン積分可能である 」 という。

しかし、この定義だけでは具体的にどのような関数がリーマン可積分なのか分からない。

そこで、以下ではこれを調べる。

定義 ( 細分 )

Δ、Δ を区間 I の分割とする。

Δ は Δ の部分集合であるとする。

このとき、Δ を 『 Δ の細分 』 という。

明らかに、次が成り立つ。

(*1) L(Δ、f)≧L(Δ、f)

(*2) U(Δ、f)≦U(Δ、f)

(*3) U(Δ、f)−L(Δ、f)≦U(Δ、f)−L(Δ、f)

F3

f:I→ を関数とする。

次が成り立つ。

(1) I の任意の分割 Δ、Δ に対し、L(Δ、f)≦U(Δ、f)である。

(2) L(f) と U(f) が存在して、L(f)≦U(f)である。

(3) f がリーマン可積分ならば L(f)=U(f)である。

(1)の証明

Δ=Δ∪Δ とおく。

いま、Δ は、Δ と Δ の細分である。

よって、L(Δ、f)≦L(Δ、f)≦U(Δ、f)≦U(Δ、f)である。(※定義(細分)の補足)

(2)の証明

明らかに、A={ L(Δ、f)|Δ は I の分割 } は の有界集合である。

よって、上限 L(f)=supA が存在する。(※B1)

明らかに、B={ U(Δ、f)|Δ は I の分割 } は の有界集合である。

よって、下限 U(f)=infB が存在する。(※B1)

(1)より、任意の L(Δ、f)∈A、U(Δ、f)∈B に対し、L(Δ、f)≦U(Δ、f)である。

よって、L(f)≦U(f)である。(※F2)

(3)の証明

いま、任意のε>0 に対し、I の分割 Δ が存在して、U(Δ、f)−L(Δ、f)<εである。

よって、U(f)≦U(Δ、f)<L(Δ、f)+ε≦L(f)+εである。

つまり、任意の ε>0 に対して U(f)≦L(f)+ε である。

よって、U(f)≦L(f)である。

一方、(2)より、L(f)≦U(f)である。

よって、L(f)=U(f)である。

定義 ( 定積分 )

f:[a、b]→ を関数とする。

f はリーマン可積分であるとする。

いま、L(f)=U(f)である。(※F3)

そこで、この値を次のように表す。

上式を∫[a、b]f(x)dx と表すこともある。

F4 ( 有界閉区間上の連続関数はリーマン可積分である )

有界閉区間 I 上の連続関数 f はリーマン可積分である。

証明

いま、f は I 上で一様連続である。(※F1)

つまり、任意のε>0 に対し、あるδ>0 が存在して、次が成り立つ。

(*) |x−x|<δ⇒|f(x)−f(x)|<ε

そこで、I の分割 Δ を、各小区間がδより小さくなるようにとる。

すると、U(Δ、f)−L(Δ、f)≦ε(b−a)である。

よって、f はリーマン可積分である。