ロルの定理、平均値の定理

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参考

ここから先は一時的に理論が枝分かれする。

定義 ( 極値 )

D を の開集合とする。

f:D→ と関数とする。

a∈D とする。

いま、あるε>0 が存在して、S(a、ε)⊂D となる。

任意の x∈S(a、ε)に対し、f(x)≦f(a)であるとする。

このとき、「 f は点 a において極大である 」 という。

( 同様に極小が定義される )

f が点 a で極大または極小をとるとき、「 f は a で極値をとる 」 という。

E4

I を の開区間とする。

f:I→ を関数とする。

f は点 x∈I で極値をとるとする。

f は点 x で微分可能であるとする。

このとき、f’(x)=0 である。

証明

f は x で極大をとるとする。( 極小の場合も同様に議論できる )

いま、あるε>0 が存在して、次の(*1)、(*2)を満たす。

(*1) (x−ε、x+ε)⊂D

(*2) 任意の|h|<εに対し、f(x+h)≦f(x)となる。

よって、



よって、



いま、f は点 x で微分可能である。

よって、f’(x)≦0 かつ f’(x)≧0 である。

よって、f’(x)=0 である。

E5 ( ロルの定理 )

[a、b] を の有界閉区間とする。

f:[a、b]→ を関数とする。

f は [a、b]上で連続であるとする。

f は(a、b)上で微分可能であるとする。

f(a)=f(b)とする。

このとき、ある c∈(a、b)が存在して、f’(c)=0 となる。

証明

f が [a、b]上で定値である場合、定理が成り立つことは明らかである。

f は I 上で定値ではないとする。

いま、ある x∈(a、b)が存在して、f(x)≠f(a)となる。

よって、f(x)>f(a) または f(x)<f(a) である。

f(x)>f(a)の場合を考える。( f(x)<f(a)の場合も同様に議論できる )

いま、f はある点 c∈[a、b]において最大値をとる。(※最大値・最小値の定理)

また、f(c)≧f(x)>f(a)=f(b)である。

つまり、f(c)≠f(a)=f(b)である。

よって、a<c<b である。

よって、c は [a、b] の内点である。

よって、f(c)は極大値でもある。

よって、f’(c)=0 である。(※E4)

E6 ( 平均値の定理 )

f:[a、b]→ を関数とする。

f は [a、b]上で連続であるとする。

f は(a、b)上で微分可能であるとする。

このとき、ある c∈(a、b)が存在して、f(b)−f(a)=f’(c)(b−a)となる。

証明

次のようにおく。



g(x)=f(x)−αx とおく。

いま、g(a)=g(b)である。

よって、ある c∈(a、b)が存在して、g’(c)=0 となる。(※ロルの定理)

いま、g’(x)=f’(x)−αである。

よって、f’(c)=αである。

よって、f(b)−f(a)=f’(c)(b−a)である。