積分を理解するために必要な微分法の知識

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参考

積分を学ぶために必要な微分法の知識は、主に次の通りである。

(1) 平均値の定理

(2) 微分可能 ⇒ 連続

(3) 合成関数の微分公式

そこで、このページではこれらについて解説する。

とくに、証明は直観的なもの掲載し、意味の解説に重点をおく。

復習 ( 微分可能性 )

I を の開区間とする。

f:I→ を関数とする。

次の極限が存在するとする。



このとき、「 f は t において微分可能である 」 という。

c を 『 f の t における微分係数 』 という。

また、c を次のように表す。

以下では(*1)を次のように表す。

復習 ( 平均値の定理 )

f:[a、b]→ を関数とする。

f は [a、b] 上で連続であるとする。

f は (a、b) 上で微分可能であるとする。

このとき、ある c∈(a、b) が存在して、f(b)−f(a)=f’(c)(b−a) となる。

証明 ( 直観ver )

f(a)≦f(b) である場合について考える。( f(a)≧f(b)の場合も同様である )

L を、(a、f(a)) と (b、f(b)) を結ぶ直線とする。

明らかに、ある点 c∈(a、b) が存在して、f’(c) は L の傾きと一致する。

つまり、f(b)−f(a)=f’(c)(b−a) である。

復習 ( 微分可能⇒連続 )

f:I→ を関数とする。

f は I 上で微分可能であるとする。

このとき、f は I 上で連続である。

証明 ( 直観ver )

微分可能性は関数が滑らかであることを意味する。

関数が滑らかならば、当然、関数は連続である。

復習 ( 合成関数 )

I、J を の区間とする。

f:I→、g:J→ を関数とする。

任意の t∈J に対し、f(t)∈J であるとする。

t∈I とおく。

いま、f(t)∈J である。

よって、g(f(t))∈ を考えることができる。

つまり、任意の t∈I に対し、g(f(t))∈ が定まる。

そこで、g*f(t)=g(f(t)) と定義する。

いま、g*f:I→ は関数と見なせる。

g*f を 『 f と g の合成関数 』 という。

復習 ( 合成関数の微分公式 )

I、J を の区間とする。

f:I→、g:J→ を関数とする。

任意の t∈J に対し、f(t)∈J であるとする。( つまり、合成関数 g*f を考えることができる )

f は点 x∈I において微分可能であるとする。

g は点 y=f(x)∈J において微分可能であるとする。

このとき、次が成り立つ。

補足

上式を詳しく書くと、

証明 ( 直観ver )

明らかに、g*f の増大率は、f の増大率に g の増大率を掛けたものになる。

参考

次のように計算できる。

(*) (sin2x)’=2cos2x

証明

上記の計算は高校数学でよく知られている。

これを 『 感覚的 』 に計算できる人も多いであろう。

しかし、ここでは合成関数の微分公式に基づいて示す。

まず、f(x)=2x、g(y)=siny とおく。

いま、(g*f)(x)=g(f(x))=sin2x である。

また、f’(x)=2、g’(y)=cosy である。

よって、(sin2x)’=(g*f)’(x)=g’(y)f’(x)=2cosy=2cos2x である。