多変数ベクトル値関数の極限

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定義 ( 多変数ベクトル値関数 )

A を の部分集合とする。

各 x∈A に対し、値 y∈ を一意に定め、f(x)=y とおく。

このとき、f を 『 多変数ベクトル値関数 』 という。

より詳しく言うと、『 n 変数 m 次元ベクトル値関数 』 である。

また、f:A→ と表す。

n=1 かつ m>1 の場合、f は 『 1変数ベクトル値関数 』 である。

n>1 かつ m=1 の場合、f は 『 多変数実数値関数 』 である。

n=1 かつ m=1 の場合、これは中学や高校でよく知られている1変数実数値関数である。

定義 ( 多変数ベクトル値関数の極限 )

A を の部分集合とする。

f:A→ を関数とする。

a∈、b∈ とする。

次が成り立つとする。



このとき、「 x が a に近づくとき、f(x)の極限は b である 」 という。

また、(*1)を、次の(*2)や(*3)のように表す。

(*1)を詳しく書くと、

参考

A を の部分集合とする。

f:A→ を関数とする。

f(x)→b ( x→a ) とする。

つまり、



ところで、(*)の否定はどうなるのであろうか?

これは、



よって、



よって、



よって、



よって、

D1 ( 関数の極限に対する同値条件 )

A を の部分集合とする。

f:A→ を関数とする。

このとき、次は同値である。

(1) limx→af(x)=b

(2) 任意の点列(xn∈⊂A に対し、x→a (n→∞)ならば f(x)→b ( n→∞ ) である。

補足

この定理は 『 関数の極限 』 を 『 点列の極限 』 に言い換えている。

証明

(1)を仮定する。

ε>0 とおく。

いま、あるδ>0 が存在して、|x−a|<δ⇒|f(x)−b|<εとなる。(★1)

(xn∈⊂A を点列とする。

→a ( n→∞ ) とする。

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|x−a|<δとなる。(★2)

(★1)、(★2)より、n≧N ⇒|f(x)−b|<εである。

以上により、次が示された。

(*) 任意のε>0 に対し、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|f(x)−b|<εとなる。

つまり、f(x)→b ( n→∞ ) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

(1)が成り立たないとする。(背理法)

つまり、



ここで、δ=1/n とおく。

いま、ある x∈A が存在して|x−a|<1/n かつ|f(x)−b|≧εとなる。

このような x を選び出して、点列(xn∈ を構成する。

いま、x→a ( n→∞ ) である。

しかし、f(x)→b ( n→∞ ) ではない。

これは仮定(2)に矛盾する。

D2 ( 関数の極限の存在に対する同値条件 )

A を の部分集合とする。

f:A→ を関数とする。

このとき、次は同値である。

(1) limx→af(x)が存在する。

(2) 任意の点列(xn∈⊂A に対し、x→a (n→∞)ならば limn→∞f(x)が存在する。

証明

(1)⇒(2)は明らかである。(※D1)

(2)を仮定する。

まず、点列 x に対して、limn→∞f(x)が一意に定まることを示す。

(xn∈⊂A を x→a ( n→∞ ) となる点列とする。

(yn∈⊂A を y→a ( n→∞ ) となる点列とする。

と y を交互に取り出して、新しく点列(zn∈ を構成する。

いま、z→a ( n→∞ ) である。

よって、limn→∞f(z)が存在する。(※定理の仮定)

つまり、点列(f(z))n∈ は極限をもつ。

この極限を b とする。

いま、(f(x))n∈ と(f(y))n∈ は、(f(z))n∈ の部分列である。

よって、(f(x))n∈ と(f(y))n∈ は b に収束する。(※A13を点列に適用)

つまり、点列 (x) に対して limn→∞f(x)が一意に定まる。

以上により、任意の点列(xn∈⊂A に対し、x→a (n→∞)ならば limn→∞f(x)=b である。

よって、f(x)→b ( n→∞ ) である。(※D1)

D3

limx→af(x)が存在すれば、これは一意である。

証明

b と c を、x→a に対する f(x)の極限とする。

b≠c であるとする。(背理法)

いま、0<|b−c|≦|b−f(x)|+|f(x)−c|である。(★)

また、



ε=|b−c|/2 とおく。

いま、



よって、|b−f(x)|+|f(x)−c|<|b−c|である。

これは(★)に矛盾する。

よって、b=c である。