多変数ベクトル値関数の連続性

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定義 ( 関数の連続性 )

D を の部分集合とする。

f:D→ を関数とする。

a∈D とする。

limx→af(x)=f(a)となるとする。

つまり、



このとき、「 f は点 a において連続である 」 という。

また、f が任意の点 x∈D で連続であるとき、「 f は D上で連続である 」 という。

(*)を詳しく書くと、

D4

D を の部分集合とする。

f:D→ を関数とする。

a∈D とする。

このとき、次は同値である。



( つまり、(1)〜(3)はいずれも f が点 a で連続であることを意味する )

補足

条件(2)を次のように表しても意味は同じである。

(1)⇔(2)の証明

(1)⇒(2)は明らかである。

(2)を仮定する。

つまり、0<|x−a|<δ⇒|f(x)−f(a)|<εである。

さらに、|x−a|=0 の場合を考える。

いま、x=a である。

よって、f(x)=f(a)である。

よって、|f(x)−f(a)|<εである。

以上により、|x−a|<δ⇒|f(x)−f(a)|<εである。

(1)⇔(3)の証明

単なる書き換えである。