多変数ベクトル値関数の四則演算

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定義 ( 関数の四則演算 )

D を の部分集合とする。

f:D→ を関数とする。

g:D→ を関数とする。

c∈ とする。

このとき、次のように定義する。

D5 ( 関数の極限の四則演算 )

D を の部分集合とする。

f:D→ を関数とする。

g:D→ を関数とする。

a∈ とする。

limx→af(x)=b、limx→ag(x)=c とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

数列の極限と同様に示される。

D6

D を の部分集合とする。

f:D→ を関数とする。

f:D→ を関数とする。

f、g は点 a∈D において連続であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f±g は点 a において連続である。

(2) cf は点 a において連続である。

(3) fg は点 a において連続である。

(4) f/g は点 a において連続である。

証明

明らかである。(※D5)

D7

f(x)=√x とおく。

このとき、f(x)は [0、∞)上で連続である。

証明

a>0 とおく.

いま、



よって、f(x)は点 a で連続である。

また、



よって、f(x)は点 0 で連続である。

D8

D を の部分集合とする。

f:D→ を関数とする。

:D→ を f の第 i 成分とする。( つまり、f(x)=(f(x)、・・・、f(x)である )

b=(b、・・・、b)∈ とする。

このとき、次は同値である。

証明

(1)を仮定する。

いま、|f(x)−b|≦|f(x)−b|である。

また、|f(x)−b|→0 ( n→∞ ) である。

よって、|f(x)−b|→0 ( n→∞ ) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、|f(x)−b|=( 1≦i≦m|f(x)−b1/2 である。

また、|f(x)−b|→0 ( x→a ) である。

よって、|f(x)−b|→0 である。(※D5、D7)

D9

D を の部分集合とする。

f:D→ を関数とする。

:D→ を f の第 i 成分とする。( つまり、f(x)=(f(x)、・・・、f(x)である )

このとき、次は同値である。

(1) f は点 a で連続である。

(2) 任意の i∈{1、・・・、m}に対し、f は点 a で連続である。

証明

明らかである。(※D8)