多変数ベクトル値関数の合成関数

サイトのTOP→理系インデックス
微分積分のTOP→微分積分インデックス





定義 ( 像 )

A を の部分集合とする。

f:A→ を関数とする。

次のように定義する。

(*) f(A)={ y∈|ある x∈A が存在して、y=f(x)となる }

このとき、f(A)を 『 A の像 』 または 『 f の値域 』 という。

つまり、f(A)は の部分集合である。

f(A) は x∈A を動かしたときに f(x)が動き回る範囲を意味している。

定義 ( 合成関数 )

A を の部分集合とする。

B を の部分集合とする。

f:A→ を ( n 変数 m 次元 ) 関数とする。

g:B→ を ( m 変数 p 次元 ) 関数とする。

f(A)⊂B であるとする。

x∈A とおく。

いま、f(x)∈B である。

よって、g(f(x))∈ を考えることができる。

つまり、任意の点 x∈A に対し、g(f(x))∈ が定まる。

そこで、g*f(x)=g(f(x))と定義する。

このとき、g*f:A→ は ( n 変数 p 次元 ) 関数と見なされる。

g*f を 『 f と g の合成関数 』 という。

D10

D を の部分集合とする。

E を の部分集合とする。

f:D→ を関数とする。

g:E→ を関数とする。

f(D)⊂E とする。( つまり、合成関数 g*f を考えることができる )

a∈ に対し、b=limx→af(x)が存在するとする。

さらに、c=limy→bg(y)が存在するとする。(★)

このとき、limx→a(g*f)(x)=c である。

(★)について補足

いま、a∈ である。

よって、ある点列(xn∈⊂D が存在して、x→a となる。(※C11)

いま、f(x)→b ( n→∞ ) である。(※D1)

よって、b∈f(D) である。(※定義:閉包)

また、f(D)⊂E である。

よって、f(D) である。(※C12)

よって、b∈ である。

よって、limy→bg(y)を考えることができる。

証明

(xn∈⊂D を、x→a ( n→∞ ) を満たす点列とする。

いま、b=limx→af(x)である。

よって、f(x)→b ( n→∞ ) である。(※D1)

いま、c=limy→bg(y)である。

よって、g(f(x))→c ( n→∞ ) である。(※D1)

よって、limx→a(g*f)(x)=c である。(※D1)

D11

D を の部分集合とする。

E を の部分集合とする。

f:D→ を関数とする。

g:E→ を関数とする。

f(D)⊂E とする。( つまり、合成関数 g*f を考えることができる )

f は点 a∈D で連続であるとする。

g は点 b=f(a)∈E で連続であるとする。

このとき、g*f は点 a で連続である。

証明

明らかである。(※D10)