多変数実数値関数の微分(微分可能⇒連続)

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E10 ( 微分とは1次化である )

I を の開区間とする。

f:I→ を関数とする。

x∈I とおく。

このとき、次は同値である。

(1) f は x で微分可能である。

(2) ある定数 c が存在して、f(x+h)−f(x)=ch+o(h) となる。

とくに、(2) の c は c=f’(x) である。

補足

ただし、o(h) は o(h)/h→0 ( h→0 ) を満たす関数である。

o は 『 ランダウの記号 』 と呼ばれる。

o(h)は 『 誤差項 』 と呼ばれることがある。

この記号は慣用的にこの意味で用いられる。

証明

(1)を仮定する。

ε(h)=f(x+h)−f(x)−chとおく。

いま、ε(h)/h→0 ( h→0 ) である。

よって、ε(h) を o(h) としてよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

次のように定義する。



いま、g は h=0 において連続である。

また、



上式の両辺について h→0 とすると、f’(x)=c である。

定義 ( 多変数実数値関数の微分 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

x∈D とおく。

ある横ベクトル c=(c、・・・、c)が存在して、次が成り立つとする。



このとき、「 f は x において微分可能である 」 という。

また、(*1)を次のように表しても意味は同じである。



このとき、c を 『 f の点 x における微分係数 』 という。

また、c=f’(x)と表す。

o(|h|)は、o(|h|)/|h|→0 (|h|→0 ) を満たす関数を意味する。

いま、c=(c、・・・、c)、h=(h、・・・、h)と表せる。

よって、行列の積と同様に、ch=c+・・・+c となる。

つまり、ch∈ である。

定義 ( 多変数実数値関数の導関数 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

f は D 上で微分可能であるとする。

このとき、f’(x)は D 上の関数と見なされる。

f’を 『 f の導関数 』 という。

E11 ( 微分可能⇒連続 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

f は点 x∈D で微分可能であるとする。

このとき、f は x で連続である。

補足

つまり、f が D 上で微分可能ならば、f は D 上で連続である。

証明

いま、f(x+h)=f(x)+f’(x)h+o(|h|)である。

よって、f(x+h)→f(x) ( h→0 ) である。

つまり、f は x において連続である。

E12

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

f は点 x∈D で微分可能であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

e=0 の場合を考える。

いま、(Df)(x)=0 である。(※定義:方向微分)

また、f’(x)e=0 である。

よって、(Df)(x)=f’(x)e である。

e≠0 の場合を考える。

h=te とおく。

いま、h→0 ⇔ t→0 である。

また、h≠0 ⇔ t≠0 である。

いま、f は x で微分可能である。

よって、定義(多変数実数値関数の微分)の(*2)より、



よって、(Df)(x)=f’(x)e である。

(2)の証明

f’(x)=(c、・・・c)とおく。

(1)より、

E13 ( C級 ⇒ 微分可能〜多変数実数値関数ver )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

f は D 上で C級であるとする。

このとき、f は D 上で微分可能である。

補足

ちなみに、∂f/∂x、・・・、∂f/∂x が存在しても、f が微分可能であるとは限らない。

証明

x∈D とおく。

いま、あるε>0 が存在して、S(x、ε)⊂D となる。

h∈ を十分小とすると、x+h∈D である。

h=(h、・・・、h)とおく。

h(i)=(0、・・・、0、h、・・・、h)とおく。( 0 は i−1 個並んでいるとする )

h(n+1)=0 とおく。

いま、あるθ、・・・、θ∈(0、1)が存在して、次が成り立つ。(※平均値の定理)



ここで、k(i)=(0、・・・、0、θ、hi+1、・・・、h)とおく。

C3(シュワルツの不等式)より、



いま、∂f/∂x は点 x において連続である。

よって、h→0 とすれば、上式の右辺は 0 に収束する。

つまり、



よって、f は x で微分可能である。(※E12(2)、定義:多変数実数値関数の微分)

参考

明らかに、微分可能⇒偏微分可能である。

では、逆は成り立つであろうか?

残念ながら成り立つとは限らない。

ただし、偏微分可能性に 『 偏導関数の連続性 』 を追加すれば、逆も成り立つ。

つまり、 C級⇒微分可能である。(※E13)

まとめると、

(*) C級 ⇒ 微分可能 ⇒ 偏微分可能

上記の内容は 『 多変数実数値関数 』 に関するものである。

これと同様のことが 『 多変数ベクトル値関数 』 についても成り立つ。

これについては次のページで扱う。