εN論法(直観的説明)

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注意

εN論法については本編で詳しく説明する。

しかし、その前に、このページでも要点を説明しておこう。

以下、 の点列について説明する。

ただし、これらの話は実数列にもそのまま適用できる。

は 『 2次元ユークリッド空間 』 を意味する。

つまり、平面座標を意味する。

以下、太字の は自然数全体を意味する。

例えば、N∈ は N が自然数であることを意味する。

また、(xn∈ は、列 x、x、・・・ を意味する。

(xn∈ ならば (xn∈ 上の点列を意味する。

(xn∈ ならば (xn∈ は実数列を意味する。

定義 ( 点列の収束 )

(an∈ の点列とする。

a∈ とおく。

次が成り立つとする。



このとき、「(an∈ は a に収束する 」 という。

また、(*1)を、次の(*2)や(*3)のように表すこともある。

参考

εN論法を初めて知るとき、戸惑う入門者は多い。

しかし、εN論法は難しいことを述べているのではない。

ただ、当然のことを詳しく記述しているだけである。

このことを図を用いて説明しよう。

の点列 (xn∈ が点 a に限りなく近づくとする。

このことは、直観的にも想像できるであろう。

おそらく、多くの人は次のような図を想像するであろう。



しかし、厳密な議論ではこれでは足りない。

(xn∈ が a に収束する 『 速さ 』 も記述しなければならない。

収束の速さは次のように記述できる。

(*1) 任意の ε>0 に対し、ある N∈ が存在して 「 n≧N ⇒|x−a|<ε 」 となる。

これは 『 εN論法 』 と呼ばれる。

たった1行の文にすぎないが、これで全てが表されている。

さらに慎重に(*1)を書くと、次のようになる。

(*1) 任意の ε>0 に対し、ある N(ε)∈ が存在して 「 n≧N(ε) ⇒|x−a|<ε 」 となる。

ここで、N(ε) は自然数 N がεに依存して決まることを強調している。

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多くの初学者は戸惑うかもしれないが、(*1)や(*2)は難しい話ではない。

これは本を読み進めていけば、自然に理解されることである。

ただ、このページでも詳しくεN論法を(少し直観的に)説明してみよう。

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まず、下図を用意する。



10−1、10−2、10−3、・・・は極限点から各円の距離を表している。

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次に、ε=10−1 としてみよう。

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|x−a|<εとなるだろうか?

これは可能である。

実際、N=4 とすればよい。

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次に、ε=10−2 としてみよう。

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|x−a|<εとなるだろうか?

これは可能である。

実際、N=5 とすればよい。

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次に、ε=10−3 としてみよう。

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|x−a|<εとなるだろうか?

これは可能である。

実際、N=13 とすればよい。( ちなみに、N=7 とした場合は間違いである )

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同様の議論を 10−4、10−5、・・・ で繰り返せるとする。

これは 「 x が a に収束する 」 を意味していると言えるだろう。

上記の議論は各εに対して N を指定している。

つまり、これは 『 収束の速さ 』 を記述していることになる。

同様の議論は実数列に対しても適用できる。