点列の極限(εN論法)

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定義 ( 点列 )

各 n∈ に対して a が対応しているとする。

このことを (an∈ で表す。

(an∈ を 『 の点列 』 という。

定義 ( 集合の有界 )

A を の部分集合とする。

ある r>0 が存在し、任意の x∈A に対して|x|≦r となるとする。

このとき、「 A は有界である 」 という。

定義 ( 点列の有界 )

(an∈ の点列とする。

A={ a|n∈ } とおく。

A は有界であるとする。

このとき、「(an∈ は有界である 」 という。

定義 ( 点列の収束 )

(an∈ の点列とする。

a∈ とおく。

次が成り立つとする。



このとき、「(an∈ は a に収束する 」 という。

また、(*1)を、次の(*2)や(*3)のように表すこともある。

(*1)は|a−a|→0 ( n→∞ ) を意味する。

むろん、これを limn→∞|a−a|=0 と書ける。

これは数列の極限を意味する。

実際、各|a−a|は実数である。

つまり、実数列の極限に基づいて点列の極限を定義したのである。

P* ( 点列の収束 ⇔ 各成分の収束 )

(an∈ の点列とする。

n、k (k=1、・・・、d) を a の第 k 成分とする。

つまり、an、k=(an、1、・・・、an、d)である。

b=(b、・・・、b)とする。

このとき、次は同値である。

(1) a→b ( n→∞ )

(2) 各 k に対し、an、k→b ( n→∞ ) である。

証明

(1)を仮定する。

いま、|an、k−b|≦|a−b|である。

また、仮定より、a→b ( n→∞ ) である。

よって、|a−b|→0 ( n→∞ ) である。

よって、|an、k−b|→0 ( n→∞ ) である。

よって、an、k→b ( n→∞ ) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、|a−b|1≦k≦d|an、k−b である。

また、仮定より、|an、k−b|→0 ( n→∞ ) である。

よって、|a−b|→0 ( n→∞ ) である。

よって、a→b ( n→∞ ) である。

参考 ( ベクトル値関数の微分 )

f:I→ を1変数 n 次元ベクトル値関数とする。

f=(f、・・・、f)とおく。( つまり各 f は1変数スカラー値関数である )

このとき、次は同値である。

(1) f は点 t∈I で微分可能である。

(2) f、・・・、f は点 t∈I で微分可能である。

とくに、(1)または(2)が成り立つとき、

証明

いま、



『 左辺の極限が存在すること 』 と 『 右辺の各成分の極限が存在すること 』 は同値である。(※P*)