点列の極限(εN論法)

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定義 ( 点列 )

各 n∈ に対して、ある a が対応しているとする。

このとき、(an∈ と表す。

(an∈ を 『 の点列 』 という。

定義 ( 集合の有界 )

A を の部分集合とする。

ある r>0 が存在して、任意の x∈A に対し、|x|≦r となるとする。

このとき、「 A は有界である 」 という。

定義 ( 点列の有界 )

(an∈ の点列とする。

A={ a|n∈ } とおく。

A は有界であるとする。

このとき、「(an∈ は有界である 」 という。

定義 ( 点列の収束 )

(an∈ の点列とする。

a∈ とおく。

次が成り立つとする。



このとき、「(an∈ は a に収束する 」 という。

また、(*1)を、次の(*2)や(*3)のように表すこともある。

(*1)は|a−a|→0 ( n→∞ ) を意味する。

むろん、limn→∞|a−a|=0 と表しても意味は同じである。

これは数列の極限を意味する。

実際、各|a−a|は実数である。

つまり、実数列の極限に基づいて点列の極限を定義したのである。

C7 ( 点列の収束 ⇔ 各成分の収束 )

(an∈ の点列とする。

n、k (k=1、・・・、d) を a の第 k 成分とする。

つまり、an、k=(an、1、・・・、an、d)である。

b=(b、・・・、b)とする。

このとき、次は同値である。

(1) a→b ( n→∞ )

(2) 各 k に対し、an、k→b ( n→∞ ) である。

証明

(1)を仮定する。

いま、|an、k−b|≦|a−b|である。(※C6)

また、仮定より、a→b ( n→∞ ) である。

よって、|a−b|→0 ( n→∞ ) である。

よって、|an、k−b|→0 ( n→∞ ) である。

よって、an、k→b ( n→∞ ) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、|a−b|1≦k≦d|an、k−b である。(※C6)

また、仮定より、|an、k−b|→0 ( n→∞ ) である。

よって、|a−b|→0 ( n→∞ ) である。

よって、a→b ( n→∞ ) である。

C8

(an∈ の点列とする。

(an∈ が収束するならば、(an∈ は有界である。

証明

n、k を a の第 k 成分とする。

いま、(an∈ は収束する。

よって、(an、kn∈ は収束する。(※C7)

よって、(an、kn∈ は有界である。(※A10)

よって、R>0 を十分大とすると、任意の n に対して|an、k|≦R となる。

( あるいは、R=sup{|an、k|: n∈ } とおいてもよい )

いま、任意の n∈ に対して次が成り立つ。



上式の右辺は定数である。

そこで、これを R とおく。

いま、任意の n∈ に対して|a|≦R である。

つまり、(an∈ は有界である。