定積分の線形性

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F5 ( 補題 )

次が成り立つ。

(1) U(Δ、f+g)≦U(Δ、f)+U(Δ、g)

(2) L(Δ、f+g)≧L(Δ、f)+L(Δ、g)

補足

この定理は直観的に明らかであろう。

例えば、下図のような状況を考えよう。



このとき、区間 [ x、xk+1 ] において次が成り立つ。

(*1) [ x、xk+1 ] 上での f の上限 : 3

(*2) [ x、xk+1 ] 上での g の上限 : 3

(*3) [ x、xk+1 ] 上での f+g の上限 : 4

(1)の証明

を分割 Δ の小区間とする。

における f、g、f+g の上限を M(f)、M(g)、M(f+g)とする。

いま、任意のε>0 に対し、ある x∈I が存在して、次が成り立つ。

(*) M(f+g)−ε≦(f+g)(x)=f(x)+g(x)≦M(f)+M(g)

よって、M(f+g)≦M(f)+M(g)である。

よって、M(f+g)|I|≦M(f)|I|+M(g)|I|である。

よって、U(Δ、f+g)≦U(Δ、f)+U(Δ、g)である。

(2)の証明

(1)と同様である。

F6 ( 補題 )

f:I→ を有界関数とする。

Δ を I の分割とする。

c>0 を定数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) U(Δ、cf)=cU(Δ、f)

(2) L(Δ、cf)=cL(Δ、f)

(1)の証明

を Δ の小区間とする。

(f) を、I における f の上限とする。

(cf) を、I における cf の上限とする。

いま、任意のε>0 に対し、ある x∈I が存在して、次を満たす。

(*1) M(cf)−ε<(cf)(x)=cf(x)≦cM(f)

また、ε>0 に対し、ある x∈I が存在して、次を満たす。

(*2) cM(f)−ε<cf(x)=(cf)(x)≦M(cf)

よって、(*1)、(*2)より、|cM(f)−M(cf)|<εである。

よって、M(cf)=cM(f)である。

よって、M(cf)|I|=cM(f)|I|である。

よって、U(Δ、cf)=cU(Δ、f)である。

(2)の証明

(1)と同様である。

F7 ( 定積分の線形性 )

f、g:I→ を有界関数とする。

f、g はリーマン可積分であるとする。

このとき、次が成り立つ。

補足

とくに、(1)と(2)を 『 定積分の線形性 』 という。

また、(3)を 『 積分の単調性 』 という。

(3)の f≦g は、任意の点 x∈I に対して f(x)≦g(x) であることを意味する。

(4)の関係はよく使用されるので重要である。

補足

ちなみに、リーマン積分の他に 『 ルベーグ積分 』 という概念がある。

ルベーグ積分においても積分の線形性や単調性を示すことが1つのテーマである。

(1)の証明

まず、f+g がリーマン可積分であることを示す。

( そうしないと、そもそも∫f+g が存在するか分からない )

Δ を I の分割とする。

いま、明らかに、次が成り立つ。(※F5)

(*1) U(Δ、f+g)≦U(Δ、f)+U(Δ、g)

(*2) L(Δ、f+g)≧L(Δ、f)+L(Δ、g)

いま、f と g はリーマン可積分である。

よって、任意のε>0 に対し、I の分割 Δ と Δ が存在して、

(*3) U(Δ、f)−L(Δ、f)<ε

(*4) U(Δ、g)−L(Δ、g)<ε

ここで、Δ=Δ∪Δ とおく。

( つまり、Δ は Δ と Δ の細分である )

いま、(*3)、(*4)より、次が成り立つ。(※定義(細分)の補足)

(*5) U(Δ、f)−L(Δ、f)<ε

(*6) U(Δ、g)−L(Δ、g)<ε

よって、(*1)、(*2)、(*5)、(*6)より、

(*7) U(Δ、f+g)−L(Δ、f+g)<2ε

つまり、f+g はリーマン可積分である。

よって、∫(f(x)+g(x))dx=U(f+g)=L(f+g) と表せる。

いま、(*5)、(*6)より、

(*8) U(Δ、f)<L(Δ、f)+ε≦L(f)+ε=∫f(x)dx+ε

(*9) U(Δ、g)<L(Δ、g)+ε≦L(g)+ε=∫g(x)dx+ε

よって、∫(f+g)dx=U(f+g)≦U(Δ、f+g)≦U(Δ、f)+U(Δ、g)≦∫fdx+∫gdx+2ε である。

同様に、∫(f+g)dx=L(f+g)≧L(Δ、f+g)≧L(Δ、f)+L(Δ、g)≧∫fdx+∫gdx−2ε である。

よって、∫(f+g)dx=∫fdx+∫gdx である。

(2)の証明

c>0 の場合について考える。

まず、cf がリーマン可積分であることを示す。

いま、f はリーマン可積分である。

よって、任意のε>0 に対し、I の分割 Δ が存在して、U(Δ、f)−L(Δ、f)<εとなる。(★)

いま、U(Δ、cf)−L(Δ、cf)<cεである。(※F6)

つまり、cf はリーマン可積分である。

よって、∫cfdx=U(cf)=L(cf) と表せる。

いま、(★)より、U(Δ、f)<L(Δ、f)+ε≦L(f)+ε=∫fdx+εである。

よって、∫cfdx=U(cf)≦U(Δ、cf)=cU(Δ、f)≦c∫fdx+cε である。

同様に、∫cfdx=L(cf)≧L(Δ、cf)=cL(Δ、f)≧c∫fdx−cε である。

よって、∫cfdx=c∫fdx である。

c≦0 の場合についても同様に示される。

(3)の証明

h(x)=g(x)−f(x)とおく。

いま、h≧0 である。

また、任意の分割 Δ に対し、U(Δ、h)≧0 かつ L(Δ、h)≧0 である。

よって、∫hdx=U(h)=L(h)≧0 である。

つまり、∫(g−f)dx≧0 である。

よって、(1)、(2)より、∫gdx≧∫fdx である。

(4)の証明

まず、|f|がリーマン可積分であることを示す。

いま、f はリーマン可積分である。

よって、任意のε>0 に対し、I の分割 Δ が存在して、U(Δ、f)−L(Δ、f)<εとなる。

J を Δ の(1つの)小区間とする。

明らかに、0≦supx∈J|f(x)|−infx∈J|f(x)|≦supx∈Jf(x)−infx∈Jf(x)である。

よって、U(Δ、|f|)−L(Δ、|f|)<εである。

よって、|f|はリーマン可積分である。

いま、I 上で−|f(x)|≦f(x)≦|f(x)|である。

よって、(2)と(3)より、−∫|f|dx≦∫fdx≦∫|f|dx である。

よって、|∫fdx|≦∫|f|dx である。