微分積分学の基本定理

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復習 ( 連続⇒積分可能 )

有界閉区間 I 上の連続関数 f は積分可能である。

定義 ( 不定積分 )

f:[a、b]→ を1変数スカラー値関数とする。

f は [a、b] 上で積分可能であるとする。

次のように定める。



このとき、関数 F を 『 f の不定積分 』 という。

定義 ( 原始関数 )

f:[a、b]→ を1変数スカラー値関数とする。

ある F:[a、b]→ が存在して [a、b] 上で F’=f となるとする。

つまり、任意の x∈[a、b] に対して F’(x)=f(x) であるとする。

このとき、F を 『 f(x)の原始関数 』 という。

上の定義では暗黙に F の微分可能性を仮定していることに注意。

P1 ( 原始関数の一意性 )

f(x)を1変数スカラー値関数とする。

F(x) と G(x) を f(x) の原始関数とする。

このとき、ある定数 C が存在して F(x)=G(x)+C となる。

補足

つまり、原始関数は定数項を無視すれば一意に定まる。

証明

いま、F’(x)=f(x)である。(※定義:原始関数)

また、G’(x)=f(x) である。(※定義:原始関数)

H(x)=F(x)−G(x)とおく。

いま、H’(x)=F’(x)−G’(x)=0 である。

よって、H(x)=C (定数) である。

よって、F(x)=G(x)+C である。

P2 ( 積分の平均値定理 )

f:[a、b]→ を1変数スカラー値関数とする。

f は [a、b] 上で連続であるとする。

このとき、あるξ ( ただし a<ξ<b ) が存在して次をみたす。

証明

いま、f は [a、b] 上で最大値 M と最小値 m をもつ。(※最大最小値定理)

いま、[a、b]上で m≦f(x)≦M である。

よって、



つまり、



よって、あるξ ( ただし a<ξ<b ) が存在して次をみたす。(※中間値定理)

P3 ( 微分積分学の基本定理[その1])

f:[a、b]→ を1変数スカラー値関数とする。

f は [a、b] 上で連続であるとする。

いま、f は積分可能である。(※復習:連続⇒積分可能)

そこで、次のように定める。



このとき、関数 F は f の原始関数である。

補足

つまり、関数 f の不定積分は原始関数である。

つまり、関数 f の積分してから微分すると元に戻る。

補足

微分積分学の基本定理は微分と積分を関連付ける定理である。

微分と積分はそれぞれ独立に定義されることに注意。

証明

次のように計算できる。(※P2)



(*1)から(*2)では h→0 が ξ→x を意味することに注意する。( x<ξ<x+h )

(*2)から(*3)は f の連続性による。

P4 ( 微分積分学の基本定理[その2])

f:[a、b]→ を1変数スカラー値関数とする。

f は [a、b] 上で連続であるとする。

F を f の原始関数とする。( つまり F’=f である )

このとき、

証明

F を f の原始関数とする。

これは次のように表せる。(※P2、P1)



いま、次のように計算できる。