微分積分の基本定理、置換積分法、部分積分法

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定義 ( 原始関数 )

f、F:I→ を関数とする。

任意の点 x∈I に対し、F’(x)=f(x)であるとする。

このとき、F を 『 f の原始関数 』 という。

定義 ( 積分の向き )

b<a とおく。

f:[b、a]→ を有界関数とする。

f はリーマン可積分であるとする。

このとき、次のように定義する。

上式の右辺が存在することに注意しよう。

つまり、−∫[b、a]f(x)dx は存在する。

そこで、これを∫[a、b]f(x)dx と表すことにしたのである。

F8 ( 積分の加法性 )

f:[a、b]→ を有界関数とする。

c∈[a、b] とおく。

f は I 上でリーマン可積分であるとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

=[a、c]、I=[c、b] とおく。

Δ を I の分割とする。

Δ を I の分割とする。

Δ を十分細かくとると、U(f、Δ)−U(f)<εである。

Δ を十分細かくとると、U(f、Δ)−U(f)<εである。

Δ=Δ∪Δ とおく。

いま、Δ は I の分割である。

また、U(f)−U(f)−U(f)<U(f、Δ)−U(f、Δ)−U(f、Δ)+2ε=2εである。

つまり、U(f)−U(f)−U(f)<2ε である。

同様に、−2ε<L(f)−L(f)−L(f) である。

一方、U(f)=L(f) ; k=1、2、3 である。

よって、−2ε<U(f)−U(f)−U(f)<2ε である。

つまり、−2ε<∫[a、b]fdx−∫[a、c]fdx−∫[c、d]fdx<2ε である。

F9 ( 補題 )

f:[a、b]→ を関数とする。

f は点 c∈I 上で連続であるとする。

このとき、ある増加関数 g:[0、∞)→ が存在して、次を満たす。

(1) 任意の x∈I に対し、|f(x)−f(c)|≦g(|x−c|)

(2) limt→0g(t)=0

証明

g:I→ を g(t)=sup{|f(x)−f(c)|:x∈I、|x−c|≦t } で定義する。

いま、g は増加関数である。

また、条件(1)が成り立つ。

いま、f は点 c で連続である。

よって、任意のε>0 に対し、あるδ>0 が存在して、次を満たす。

(*) |x−c|<δ⇒|f(x)−f(c)|<ε

いま、0≦t<δ⇒g(t)≦εである。

つまり、条件(2)が成り立つ。

F10 ( 微分積分学の基本定理 )

f:[a、b]→ を連続関数とする。

いま、f はリーマン可積分であるとする。(※F4)

次のように定義する。



このとき、F は [a、b] 上で微分可能で、F’(x)=f(x)となる。

補足

つまり、F は f の原始関数である。

証明

c∈[a、b] とおく。

いま、ある増加関数 g:[0、∞)→ が存在して次を満たす。(※F9)

(*1) 任意の x∈I に対し、|f(x)−f(c)|≦g(|x−c|)

(*2) limt→0g(t)=0

h>0 とおく。

c+h∈[a、b] であるとする。

いま、F8 より、



よって、



h<0 の場合も同様に成り立つ。

よって、F’(c)=f(c)である。

F11

f:[a、b]→ をリーマン可積分な関数とする。

、F を f の原始関数とする。

このとき、F−F は定値関数である。

証明

G(x)=F(x)−F(x)とおく。

いま、G’(x)=f(x)−f(x)=0 である。(※定義:原始関数)

また、G は連続である。(※微分可能⇒連続)

よって、a<x≦b に対し、ある c∈(a、x) が存在して、次を満たす。(※平均値の定理)

(*) G(x)−G(a)=G’(c)(x−a)

いま、G’(c)=0 である。

よって、G(x)=G(a)である。

つまり、G は [a、b] 上で定値である。

F12

f:[a、b]→ を連続関数とする。

F を f の原始関数とする。

このとき、

証明

いま、ある実数 c が存在して、次を満たす。(※F10、F11)



よって、

復習 ( 1変数の C 級 )

I を の区間とする。

f:I→ を関数とする。

f の k 階までの導関数が存在して I 上で連続であるとする。

このとき、「 f は C 級である 」 という。

とくに、f が任意の k∈ に対して C 級ならば 「 f は C 級である 」 という。

ちなみに、I 上で C級の関数全体を C(I)と表す。

また、I 上で連続な関数全体を C(I)と表す。

これは C を C で表しているのだと考えれば意味が通る。

F13 ( 置換積分法 )

f:[a、b]→ を連続関数とする。

φ∈C[α、β]とおく。

φ(α)=a、φ(β)=b であるとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

次のようにおく。



いま、F’=f である。(※F10:微分積分学の定理)

合成関数の微分法より、



つまり、(F*φ)’=f(φ(t))φ’(t)である。

よって、F12より、

F14 ( 部分積分法 )

f、g∈C[α、β]とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

いま、(fg)’=f’g+fg’である。

つまり、fg は f’g+fg’の原始関数である。

よって、F11より、