中間値の定理(1変数ver)

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D16 ( 中間値の定理 )

[a、b] を の有界閉区間とする。

f:[a、b]→ を連続関数とする。

f(a)≦γ≦f(b)であるとする。

このとき、ある c∈[a、b] が存在して、f(c)=γとなる。

補足

f(a)≧γ≧f(b)の場合も同様に定理が成り立つ。

補足

この定理の証明では 『 二分法 』 を用いる。

同様の論法は 『 ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 』 でも用いた。

証明

γ=0 の場合について証明すれば十分である。

( γ≠0 の場合は、f(a)と f(b)を−γすれば同じことである )

いま、f(a)≦0 かつ f(b)≧0 である。

f(a)=f(b)の場合、定理が成り立つことは明らかである。

よって、f(a)≠f(b)としてよい。

つまり、f(a)<0 かつ f(b)>0 であるとしてよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=[a、b]、a=a、b=b とおく。

=2−1(a+b)とおく。

f(c)=0 ならば定理の証明は完了する。

f(c)>0 ならば、a=a、b=c とし、I=[a、b] とおく。

f(c)<0 ならば、a=c、b=b とし、I=[a、b] とおく。

同様に、c=2−1(a+b)とおく。

f(c)=0 ならば定理の証明は完了する。

f(c)>0 ならば、a=a、b=c とし、I=[a、b] とおく。

f(c)<0 ならば、a=c、b=b とし、I=[a、b] とおく。

上記の操作を繰り返し、I=[a、b] を定義する。

いま、つねに f(a)<0 かつ f(b)>0 である。

また、b−a=2−n(b−a)→0 ( n→∞ ) である。

よって、∩n∈={c}かつ limn→∞=limn→∞=c である。(※区間縮小法)(★1)

また、任意の n∈ に対し、f(a)<0<f(b)である。(★2)

一方、f は点 c において連続である。

よって、(★1)より、limn→∞f(a)=f(c)、limn→∞f(b)=f(c)である。(※D1)

よって、(★2)より、f(c)≦0≦f(c)である。(※A8 または A9 )

よって、f(c)=0 である。

D17

[a、b] を の有界閉区間とする。

f:[a、b]→ を連続関数とする。

M を f[a、b] の最大値とする。(※最大値・最小値の定理)

m を f[a、b] の最小値とする。(※最大値・最小値の定理)

このとき、f[a、b]=[m、M]である。

補足

つまり、閉区間を連続写像で写すと、その像も閉区間になる。

証明

いま、ある c、d∈[a、b]が存在して、M=f(c)、m=f(d)となる。(★)

z∈[m、M]とおく。

いま、(★)より、ある x∈[c、d] が存在して、f(x)=z となる。(※中間値の定理)

よって、z∈f[c、d]である。

以上により、z∈[m、M] ⇒ z∈f[c、d] である。

よって、[m、M]⊂f[c、d] である。

よって、[m、M]⊂f[a、b] である。

一方、明らかに、f[a、b]⊂[m、M]である。

よって、f[a、b]=[m、M] である。