中間値の定理(多変数ver)

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参考1

前のページでは1変数関数について中間値の定理を示した。

実は、連結性を用いれば、多変数関数についても中間値の定理を示すことができる。

これについて簡単に紹介しよう。

先を急ぐ読者は、このページを読まなくてもよい。

参考2 ( 連結性は連続写像の像に遺伝する )

X、Y を位相空間とする。

f:X→Y を連続写像とする。

X は連結であるとする。

このとき、f(X)は連結である。

これは位相空間論でよく知られている定理である。

ここでは証明は省略して、この定理を認めることにしよう。

位相空間論を知らない人も気にしなくてよい。

例えば、n次元ユークリッド空間 は位相空間である。

なので、とりあえずは、位相空間とは のことだと思えばよい。

参考3

の連結部分集合はつねに区間である。

つまり、 の連結部分集合は次の(*)のいずれかの形であるということである。

(*) 、[a、b]、(a、b)、(a、b]、[a、b)、(a、∞)、[a、∞)

ここでは証明は省略して、この定理を認めることにしよう。

参考4 ( 中間値の定理〜多変数ver )

D を の連結な部分集合とする。

f:D→ を連続関数とする。

、x∈D とおく。

α=f(x)、β=f(x)とおく。

α<βであるとする。

このとき、任意のα≦γ≦βに対し、ある x∈D が存在して、f(x)=γとなる。

証明

いま、f(D)は連結である。(※参考2)

よって、f(D)は区間である。(※参考3)

いま、α、β∈f(D)である。

よって、[α、β]⊂f(D)である。

よって、ある x∈D が存在して、f(x)=γとなる。