有界閉区間上の連続関数は一様連続である

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定義 ( 一様連続 )

f:I→ を1変数スカラー値関数とする。( つまり I は の区間である )

次が成り立つとする。



このとき、「 f は I 上で一様連続である 」 という。

定義式をさらに詳しく書くと、

参考

連続関数は一様連続であるとは限らない。

証明

成り立たないことを示すためには反例を1つ挙げればよい。

f:(0、∞)→ を f(x)=1/x で定義する。

いま、f は連続関数である。

f が一様連続であると仮定する。(背理法)

ε>0 とおく。

いま、



ここで、0< x <min{δ、1/(2ε)}とおく。

いま、|2x−x|<δである。

また、|f(2x)−f(x)|=1/(2x) >εである。

これは矛盾である。

補足

f(x)=1/x が一様連続でない原因は、x が 0 に近づくにつれて値が急激に増大することにある。

参考

一様連続性の否定を考えよう。

つまり、



これは次にように変形できる。

P* ( 有界閉区間上の連続関数は一様連続である )

有界閉区間 I 上の連続関数 f は一様連続である。

証明

次が成り立つとする。(背理法)



上式において、δは任意である。

そこで、δ=1/n とする。

いま、ある a、b∈I が存在して次が成り立つ。

(*1) |a−b|<1/n

(*2) |f(a)−f(b)|≧ε

いま、ある部分列 aρ(n) が存在して aρ(n) はある点 c∈I に収束する。(※復習:BW定理)

また、|aρ(n)−bρ(n)|<1/ρ(n)である。

よって、bρ(n) も c に収束する。

よって、limn→∞f(aρ(n))=limn→∞f(bρ(n))=f(c) である。(※復習:関数の極限に対する同値条件)

これは(*2)に矛盾する。