有理数の稠密性、無理数の稠密性

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復習 ( アルキメデスの原理 )

任意の実数 a>0 と b>0 に対し、ある n∈ が存在して na>b となる。

P1 ( ガウス記号 )

任意の x∈ に対し、ある a∈ が存在して a−1≦x<a となる。

補足

この a−1 を [x] で表し、この記号 [・] を 『 ガウス記号 』 という。

証明

x∈ とおく。

まず、x≧0 の場合について考える。

いま、ある n∈ が存在して x<n となる。(※復習:アルキメデスの原理)

M={ m∈|x<m≦n } とおく。

いま、n∈ であるから M は空ではない。

また、M は有限集合であるから M の最小元が存在する。

そこで、a を M の最小元とする。

いま、a−1≦x<a である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、x<0 の場合について考える。

いま、−x>0 である。

よって、上の結果より、ある b∈ が存在して b−1≦−x<b となる。

いま、−b<x≦−b+1 である。

よって、a=−b+1 または a=−b+2 が求める整数である。

P2 ( 有理数の稠密性 )

任意の x、y∈ ( x<y ) に対し、ある有理数 r が存在して、x<r<y となる。

証明

x、y∈ ( x<y ) とおく。

いま、y−x>0 である。

また、ある b∈ が存在して 1/(y−x)<b となる。(※復習:アルキメデスの原理)

いま、1/b<y−x である。

また、ある a∈ が存在して a−1≦bx<a となる。(※P1)

いま、x<a/b=(a−1)/b+1/b<x+(y−x)=y である。

つまり、a/b が求める有理数である。

P3 ( 無理数の稠密性 )

任意の x、y∈ ( x<y ) に対し、ある無理数 s が存在して x<s<y となる。

証明

x、y∈ ( x<y ) とおく。

いま、x−√2<y−√2 である。

また、ある有理数 r が存在して x−√2<r<y−√2 となる。(※P2)

いま、x<r+√2<y である。

つまり、r+√2 が求める無理数である。