上限・下限に収束する数列が存在する

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B7 ( 上限・下限に収束する数列が存在する )

A を の部分集合とし、空ではないとする。

A は上限をもつとする。

このとき、ある数列(an∈ が存在して次を満たす。

補足

とくに、以下の証明はよく用いられる論法である。

よって、この証明は自力で導けるようにしておくと有用である。

証明

supA=a とおく。

n∈ とおく。

いま、ある x∈A が存在して a−1/n< x <a となる。(※定義:上限)

各 n に対応する x を a と表す。

いま、a−1/n<a<a である。

また、limn→∞(a−1/n)=a である。

よって、limn→∞=a である。(※A12:はさみうちの原理)