上界、下界、上限、下限

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注意

次の2つの記号は同じ意味で用いる。



本来はどちらか一方に統一するべきであるが、レイアウトの都合で両方用いることにする。

定義 ( 最大元、最小元 )

A を の部分集合とする。

ある a∈A が存在して、任意の x∈A に対し、x≦a であるとする。

このとき、a を 『 A の最大元 』 といい、maxA と表す。

一方、ある a∈A が存在して、任意の x∈A に対し、a≦x であるとする。

このとき、a を 『 A の最小元 』 といい、minA と表す。

定義 ( 上界、下界 )

A を の部分集合とする。

ある a∈ が存在して、任意の x∈A に対し、x≦a となるとする。

このとき、a を 『 A の上界 』 という。

一方、ある a∈ が存在して、任意の x∈A に対し、a≦x となるとする。

このとき、a を 『 A の下界 』 という。

A の上界全体を U(A) と表す。

A の下界全体を L(A) と表す。

A が上界をもつとき、「 A は上に有界である 」 という。

A が下界をもつとき、「 A は下に有界である 」 という。

A が上下に有界であるとき、単に 「 A は有界である 」 という。

「 上界 」 を 「 じょうかい 」 と読み、「 下界 」 を 「 かかい 」 と読む。

つまり、a∈U(A)は、a が A の上界であることを意味する。

参考

A を の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は有界である。

(2) ある実数 M が存在して、−M≦A≦M となる。

証明

明らかである。(※定義:上界、下界)

参考

A を の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。(※定義:上界、下界)

定義 ( 上限、下限 )

A を の有界な部分集合とする。

U(A)の最小元を 『 A の上限 』 といい、supA と表す。

L(A)の最大元を 『 A の下限 』 といい、infA と表す。

上限、下限は解析学全体で広く使用される概念である。

例えば、ルベーグ積分、関数解析、確率論などで基本的である。

入門者の場合、最大元、上限、上界の区別が付かなくなって混乱するかもしれない。

しかし、慣れれば難しくはない。

A4

A を の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A の最大元が存在するならば、それは必ず A に属する。

(2) supA∈A ならば supA=maxA である。

(3) A が上に有界であっても、maxA が存在するとは限らない。

(4) maxA が存在しなくても、supA が存在することがある。

(5) A の上限が存在しても、それが A に属するとは限らない。

(6) maxA が存在するならば、それは一意である。

(7) maxA が存在するならば、maxA=supA である。

( 同様のことが最小元、下限についても成り立つ )

(1)の証明

明らかである。(※定義:最大元)

(2)の証明

明らかである。(※定義:上限、最大元)

(3)の証明

成り立つとは限らないことを示すには、何か1つでも反例を挙げればよい。

A を開区間(0、1)とする。

明らかに、A は上に有界である。

maxA=a が存在すると仮定する。(背理法)

a∈A であるから、a<1である。

いま、ある実数 x が存在して、a<x<1 となる。(※A1)

これは a が A の最大元であるという仮定に矛盾する。

よって、maxA=a は存在しない。

(4)の証明

A を開区間(0,1)とする。

いま、A に最大元は存在しない。(※(3)の証明参照)

一方、任意の x∈A に対して、x≦1である。

よって、1 は A の1つの上界である。( つまり、1∈U(A)である )

ここで、ある b∈U(A)が存在して、b<1 となるとする。(背理法)

いま、ある実数 c が存在して、b<c<1 となる。(※A1)

また、c∈A である。

これは b が A の上界であるという仮定に矛盾する。

よって、上の仮定 「 ある b∈U(A)が存在して、b<1 となる 」 が間違っていたのである。

よって、1 は U(A)の最小元である。

よって、supA=1 である。(※定義:上限)

(5)の証明

成り立つとは限らないことを示すには、何か1つ反例を挙げればよい。

A=(0、1)とおく。

いま、supA=1である。(※(4)の証明参照)

しかし、これは A に属さない。

(6)の証明

a と a’を A の最大元とする。

a は A の最大元であるから、a’≦aである。

a’は A の最大元であるから、a≦a’である。

よって、a=a’である。

(7)の証明

maxA=a とする。

いま、任意の x∈A に対して、x≦a である。

よって、a は A の1つの上界である。( つまり、a∈U(A)である )

ここで、ある b∈U(A)が存在して、b<a となるとする。(背理法)

しかし、(1)より、a∈A であるから、これは矛盾である。

よって、a は A の上界の最小元である。

よって、a=supA である。

A5 ( 上限、下限に対する同値条件 )

A を の部分集合とする。

次の (1) と (2)+(3) は同値である。



次の (4) と (5)+(6) は同値である。

(1)⇔「(2)+(3)」の証明

(1)を仮定する。

つまり、c は A の上限である。

つまり、c は U(A)の最小元である。

つまり、c は A の上界である。

つまり、任意の x∈A に対して、x≦c である。

つまり、(1)が成り立つ。

また、いま上でも述べたように、c は U(A)の最小元である。

つまり、c より小さい数は U(A)に属さない。

つまり、c より小さい数は A の上界ではない。

つまり、任意のε>0 に対して、c−εは A の上界ではない。

つまり、ある x∈A が存在して、c−ε<x となる。

つまり、(2)が成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(1)と(2)を仮定する。

(1)は c が A の上界であることを意味する。

(2)は c よりも小さい任意の数は A の上界ではないことを意味する。

つまり、c は A の上界の最小元である。

つまり、c=supA である。

(4)⇔「(5)+(6)」の証明

上限の場合と同様に示される。

参考

A=(1、3)とすると、infA=1、supA=3 である。

よって、infA、supA は A に属さない。

また、A に最小元や最大元は存在しない。

参考

A=[1、3] とすると、infA=1、supA=3 である。

よって、infA、supA は A に属する。

また、A の最小元は 1 であり、A の最大元は 3 である。

参考

次のような例も面白い。



このとき、infA=0 、supA=1である。

上限は A に属しているが、下限は A に属していない。