微積の直観

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参考

このページでは微分積分について直観的に説明する。

参考 ( 微分 )

関数 f(x) を 0 から x まで積分した関数を F(x) とする。

つまり、



むろん、F(x) は f(x) の面積を意味する。

つまり、変数 x の増加に伴い、f(x)の面積が増加する。

F(x)の微分は f(x) の面積が増加する速度を意味する。

よく知られているように、微分の物理的な意味は 『 速度 』 である。

ただし、物体の速度は1次元的であるから視覚化が難しい。

そこで、上の説明では階層を1つ上げて総量の変化に置き換えることで微分を視えるようにした。

参考 ( m変数n次元ベクトル値関数 )

f をm変数n次元ベクトル値関数とする。

これは次のように表される。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(m、n)=(1、1)の場合、関数 f は1変数スカラー値関数である。

これは中学や高校でよく知られている。

例えば、f(x)=x である。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(m、n)=(2、1)の場合、関数 f は2変数スカラー値関数である。

これは z=f(x、y) の形で表される。

例えば、f(x、y)=x+y である。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(m、n)=(2、2)の場合、関数 f は2変数2次元ベクトル値関数である。

これは平面から平面への関数である。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(m、n)=(1、3)の場合、関数 f は1変数3次元ベクトル値関数である。

これは空間曲線である。

例えば、f(t)=(cost、sint、t) である。( これは 『 常螺旋 』 と呼ばれる )



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(m、n)=(2、3)の場合、関数 f は2変数3次元ベクトル値関数である。

これは2次元的曲面である。

最後の2変数3次元ベクトル値関数 f(u、v)=(x、y、z) について補足しておく。

これは(u、v)平面上の各点が、曲面上の点に対応していることを意味する。

つまり、直観的には曲面上に座標を描くことができる。

すると、(u、v)平面における 「 u軸」 と 「 v軸 」 に相当する曲線が曲面上に描かれる。

これを 『 u曲線 』 『 v曲線 』 という。



むろん、同じ形の曲面であっても、座標の入れ方によって u 曲線と v 曲線は変化する。

参考 ( 関数の連続性 )

定義域の二点を近づけることで、値の二点の距離をいくらでも小さくできるとする。

このとき、この 「 関数は連続である 」 という。

例えば、1変数スカラー値関数について考えてみよう。

下図のように、定義域において不連続点 P に左右から近づく2つの点列を考える。



もし関数が点 P において連続ならば、点列が近づくと値の差は 0 になる。

しかし、関数が点 P において不連続である場合、値の差は絶対に 0 にならない。

むろん、同様のことは2変数3次元ベクトル値関数についても言える。



詳しくはεδ論法によって定式化される。

参考 ( 近似 )

f を関数とする。

このとき、次のように計算できる。(※テイラー展開)



ここで、|| Δx ||→0 とすると、2次以上の項は無視できる。(★)

よって、

上記の(★)は様々な分野で登場する。

このとき、

「 本当にこれを無視してよいのだろうか? 」

「 だって、本当に消えてなくなるわけではないでしょう? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

そこで、この(★)意味を詳しくに述べると、

「 Δx を小さくすると、Δx に対する || Δx || の効果をいくらでも小さくできる 」

・・・となる。

そのことを留意しつつ、df=(df(x)/dx)dx と表すのである。

そして、この式は結果的に 「 分数の約分 」 と同じ形をしている。

おそらく、ワケも分からずに df=(df(x)/dx)dx という式を用いている人は多いと思われる。

しかし、背景には上記のような事情がある。

ところで、上で述べた 「 いくらでも小さくできる 」 という部分は初学者に伝わりづらい。

これは言葉通りの意味であるから、言葉の通りに解釈すれば問題はない。

ただし、この辺りの感覚はεδ論法などを学ぶことによって深く理解できる。

参考 ( 合成関数の微分法は温度上昇率で分かる )

f(x、y) を2変数関数とする。

(x(t)、y(t)) を xy 平面上の曲線とする。

このとき、曲線上での f の変化率は、

f(x、y) を、xy 平面上の温度分布とする。

つまり、xy平面上では場所によって温度が変化する。

ある点が曲線 (x(t)、y(t)) 上を動くとする。

点が動くときの x 座標の変化率は、dx/dt である。

温度関数 f の x 軸方向の変化率は、∂f/∂x である。

よって、x 軸方向の温度の変化率は(dx/dt)・(∂f/∂x)である。

同様に、y 軸方向の温度の変化率は(dy/dt)・(∂f/∂y)である。

よって、

参考 ( 変数変換公式 )

2変数スカラー値関数 f(x、y) の変数変換公式は次のように表される。

高校数学で知られているように、1変数スカラー値関数 f(x) の変数変換は次のように表される。



上記の J は、この dx/dt の2×2次元バージョンである。

この J を 『 ヤコビアン 』 という。

参考 ( 距離空間 )

3次元ユークリッド空間(x、y、z)は高校数学で知られている。

3次元ユークリッド空間において2点 x=(x、x、x) と y=(y、y、y)の距離は次式によって与えられる。



これを 『 ユークリッド空間 』 という。

明らかに、ユークリッド空間に対して次が成り立つ。



逆に、これらを公理として採用した空間を 『 距離空間 』 という。

ここで、

「 導いたものを公理として採用するとはどういうことか? 」

・・・という疑問をもつ人がいるかもしれない。

しかし、これは特殊な議論ではない。

同様のことは物理学などにおいても見られる。

例えば、様々な実験を行い、物理現象(物体の衝突など)を観察してみよう。

むろん、そこには様々な法則(運動量保存則など)が見出される。

しかし、その中にも広く成り立つ基本的な法則があることが分かる。

むろん、それはニュートンの法則である。

そこで、逆に、ニュートンの法則を要請(これは数学の公理に相当する)として採用してみよう。

すると、その他の法則はすべてニュートンの法則から導かれることが分かる。

参考 ( 開集合、閉集合 )

境界をもたない集合を 『 開集合 』 という。

例えば、開区間は1次元の開集合である。

むろん、1点集合は開集合ではない。

参考 ( 位相空間 )

明らかに、開集合について次が成り立つ。

(1) 空集合と全体集合は開集合である。

(2) 開集合の共通部分は開集合である。( ただし有限個の共通部分のみ )

(3) 開集合の和集合は開集合である。( 無限個の和集合も認める )

逆に、これらを公理として採用した空間を 『 位相空間 』 という。

もしかしたら、

「 なぜ(2)では有限個の共通部分のみを考えるのだろう? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

なぜなら、無限個の開集合について共通部分をとると、開集合ではなくなる場合があるからである。

実際、開区間(−1/n、1/n)全体の共通部分を考えると、それは1点集合{0}となる。

1点集合は開集合ではない。 .

参考 ( 誤差項 )

一般に、関数 f(x) に対し、



つまり、



ただし、O(δx)は δx→0 と同程度の速さで 0 に収束する項を意味する。

これを 『 誤差項 』 という。

これは 「 x の変位 」 に対して 「 f(x) と f’(x)δx の誤差 」 をいくらでも小さくできることを意味する。

つまり、「 誤差項を無視してよい 」 ということである。

そこで、このような場合に 「 f(x) を f’(x)δx で近似する 」 という。

次のように説明しても意味は同じである。

テイラー展開より、



式変形すると、

.

(*)で微分を議論している参考書は多い。

おそらく、その理由は、多くの学生が高校の頃から(*)に慣れ親しんでいることによる。

しかし、実際には誤差項を用いた表示の方が圧倒的に有用である。

例えば、(*)で 「 合成関数の微分法則 」 をしっかりと証明すると、約2ページを要する。

しかし、誤差項を用いれば、その議論は1行で終わる。

実際、合成関数=関数(関数)=関数(近似+誤差)=近似(近似)+近似(誤差)+誤差(誤差)でよい。

これは単なる 「 簡略化 」 や 「 直観化 」 ではなくて、「 厳密な議論 」 である。

世間的には論点を曖昧にしただけの説明を 「 直観的で分かりやすい 」 と評する傾向がある。

しかし、真の直観は基本的な数式を理解し、それを超えた先にあるものだと考えるべきであろう。