1次系の一般解

サイトのTOP→理系インデックス
行列分解のTOP→行列分解インデックス





Z9

次は同値である。

(1) X は AX=O の解である。

(2) ある行列 Y が存在して、X=(I−AA)Y となる。

証明

(1)を仮定する。

いま、X=X−A(AX)=(I−AA)X である。

そこで、Y=X とおけばよい。

(2)を仮定する。

いま、AX=(A−AAA)Y=(A−A)Y=O である。

つまり、X は AX=O の解である。

Z10 ( 「 AX=B の解全体 」 の特徴づけ )

AX=B を無矛盾な1次系とする。

を AX=B の(1つの)解とする。

( このような X を 『 特殊解 』 という )

このとき、次は同値である。

(1) X は AX=B の解である。

(2) X=Z+X ( ただし、Z は AX=O の解 ) と表せる。

証明

(1)を仮定する。

=X−X と定義する。

いま、AZ=AX−AX=B−B=O である。

つまり、Z は AZ=O の解である。

また、X=Z+X である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、AX=AZ+AX=B+O=B である。

つまり、X は AX=B の解である。

Z11

AX=B を無矛盾な1次系とする。

このとき、次は同値である。

(1) X は AX=B の解である。

(2) ある行列 Y が存在して、X=AB+(I−AA)Y と表せる。

証明

明らかである。(※Z9、Z10、C1)