巾等行列

サイトのTOP→理系インデックス
行列分解のTOP→行列分解インデックス





参考

統計学において巾等行列は重要である。

例えば、射影行列は巾等である。

そこで、このページでは巾等行列についてまとめる。

定義 ( 巾等行列 )

A を正方行列とする。

=A であるとする。

このとき、A を 『 巾等行列 』 という。

Z1

A を正方行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) I−A は巾等である。

(2) A は巾等である。

証明

明らかである。

Z2 ( 巾等行列 A について trA=rankA )

k をスカラーとする。

=kA であるとする。

このとき、trA=krankA である。

補足

とくに、k=1の場合に注目しよう。

これは巾等行列 A について trA=rankA であることを意味する。

証明

A=O の場合は明らかである。

A≠O の場合について考える。

rankA=r とする。

いま、ある n×r 行列 B、r×n 行列 C が存在して、A=BC となる。(※C2)

また、rankB=r、rankC=r である。(※C2)

また、BCBC=A=kA=kBC=B(kI)C である。

いま、C は右逆行列をもつ。(※B8)

また、B は左逆行列をもつ。(※B8)

よって、CB=kI である。

よって、trA=tr(BC)=tr(CB)=tr(kI)=kr である。

Z3

A を n×n 巾等行列とする。

このとき、rank(I−A)=n−rankA である。

証明

rank(I−A)=tr(I−A)=trI−trA=n−rankA である。(※Z1、Z2)

Z4

A を m×n 行列とする。

このとき、AA と AA は巾等行列である。

補足

AA は n×n 行列であり、AA は m×m 行列である。

証明

AAA=AA である。(※定義:一般逆行列)

AAAA=AA である。(※定義:一般逆行列)

Z5

A を m×n 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) rank(I−AA)=n−rankA

(2) rank(I−AA)=m−rankA

(1)の証明

rank(I−AA)=n−rankAA=n−rankA である。(※Z4、Z3、C14)

(2)の証明

(1)と同様である。

Z6

A を m×n 行列とする。

B を n×m 行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) B は A の一般逆行列である。

(2) BA は巾等であり、rank(BA)=rankA である。

(3) AB は巾等であり、rank(AB)=rankA である。

(1)⇔(2)の証明

(1)⇒(2)は明らかである。(※Z4、C14)

(2)を仮定する。

いま、R(A)=R(BA)である。(※A7)

よって、ある行列 X が存在して、A=XBA となる。(※A1)

よって、ABA=XBABA=XBA=A である。

(1)⇔(3)の証明

(1)⇔(2)と同様である。