復習(固有値、対角化)

サイトのTOP→理系インデックス
行列分解のTOP→行列分解インデックス




復習 ( 固有値 )

A を n×n 行列とする。

λを実数とする。

ある n次-列ベクトル x(≠0)が存在して、Ax=λx となるとする。

このとき、λを 『 A の固有値 』 という。

また、x を 『 λに対する(Aの)固有ベクトル 』 という。

つまり、(A−λI)x=0 である。

復習 ( 解空間 )

Ax=0 を1次系とする。

N(A)={ x|Ax=0 } と定義する。

このとき、N(A)を 『 A の解空間 』 という。

復習

A を n×n 行列とする。

λを(Aの)固有値とする。

このとき、N(A−λI)を 『 λに対する固有空間 』 という。

また、|A−xI|を 『 A の固有多項式 』 という。

また、|A−xI|=0 を 『 A の固有方程式 』 という。

明らかに、次は同値である。

(*1) x はλに対する固有ベクトルである。

(*2) x∈N(A−λI)

明らかに、次は同値である。

(1) λは(Aの)固有値である。

(2) λは固有多項式の根である。

(3) λは固有方程式の解である。

復習

A を n×n 行列とする。

{λ、・・・、λ} を A の固有値全体とする。

p(x)を A の固有多項式とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) p(x)=(x−λ・・・(x−λq(x)

ただし、n、・・・、n は正の整数であり、q(x)は実根をもたない。

また、次は同値である。

(2) n=1≦k≦r

(3) q(x)=1

この n を 『 λ の重複度 』 という。

証明は省略する。

Z1

A を n×n 行列とする。

A は対角化可能であるとする。

つまり、ある正則行列 P が存在して、P=P−1AP が対角行列になるとする。

D=diag(d、・・・、d)とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) rankA は D の 0 でない対角成分の個数に等しい。

(2) detA=d・・・d

(3) trA=d+・・・+d

(4) A の固有多項式は p(x)=(−1)(x−d)・・・(x−d)である。

(5) A の固有値全体は D の対角成分から成る。

(6) 固有値λの重複度、λに対する固有空間の次元、D の対角成分に現れるλの個数、これらは等しい。

(7) P の列は、A の固有ベクトルである。

証明

証明は省略する。

Z2

A を n×n 行列とする。

P を n×n 正則行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は P で対角化可能である。

(2) P の列は A の固有ベクトルである。

証明

証明は省略する。

Z3

A を n×n 行列とする。

次は同値である。

(1) A は対角化可能である。

(2) A の固有ベクトルで、1次独立なものが n 個存在する。

証明

証明は省略する。

Z4

任意の対称行列は直交対角化可能である。

証明

証明は省略する。

Z5

A を n×n 対称行列とする。

、・・・、d を A の固有値とする。( 重複も含む )

このとき、ある n×n 直交行列 P が存在して、PAP=diag(d、・・・、d)となる。

証明

よく知られているように、成分を並べ替える行列は直交行列である。

よって、明らかである。(※Z4)

Z8

A を n×n 行列とする。

A の固有値の重複度の合計が n であるとする。

、・・・、d を A の固有値とする。( 重複も含む )

このとき、ある n×n 直交行列 P が存在して、PAP=T となる。

ただし、T は対角成分が d、・・・、d である三角行列である。

証明

省略する。

Z9

A を n×n 対称行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は非負定値である。

(2) A の固有値はすべて非負である。

また、次は同値である。

(3) A は正定値である。

(4) A の固有値はすべて正である。

また、次は同値である。

(5) A は半正定値である。

(6) A の固有値はすべて非負であり、少なくとも1つの固有値が 0 である。

証明

明らかである。(※Z5、D18)