一般逆行列は必ず存在する

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定義 ( 一般逆行列 )

A を m×n 行列とする。

ある n×m 行列 A が存在して、AAA=A となるとする。

このとき、A を 『 A の一般逆行列 』 という。

よく知られているように、逆行列は一意である。

しかし、一般逆行列は一意ではない。

C1

A を m×n 行列とする。

G を n×m 行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) G は A の一般逆行列である。

(2) 任意の無矛盾な1次系 AX=B に対し、GB はその解である。

ただし、(2)において、B は 『 任意 』 の m×p 行列であることに注意。

つまり、m は固定だが、p は自由に動かしてよい。

証明

(1)を仮定する。

A(GB)=(AG)B=AGAX=AX=B である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、AGB=B である。

A=(a、・・・、a)とおく。

B=(a、0、・・・、0)とおく。

いま、明らかに、AX=B は無矛盾である。

( 実際、e を I の第 k 列として X=(e、0、・・・、0)が解となる )

よって、AG(a、0、・・・、0)=(a、0、・・・、0)である。

よって、AGa=a (k=1、・・・、n)である。

よって、AGA=A である。

C2 ( 任意の行列は最大列階数行列と最大行階数行列の積で表せる )

A を m×n 行列とする。

A は O でないとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) ある m×p 行列 B と、p×n 行列 C が存在して、A=BC となる。

(2) rankB=rankC=p

(1)の証明

rankA=p とする。

{ b、・・・、b } を C(A)の基底とする。

B=(b、・・・、b)とおく。

( つまり、B は m×p 行列である )

いま、C(B)=C(A)である。

よって、ある p×n 行列 C が存在して、A=BC となる。(※A1)

(2)の証明

いま、rankB≧p、rankC≧p である。(※A5)

一方、明らかに、rankB≦p、rankC≦p である。

よって、rankB=p、rankC=p である。

C3

A を m×n 行列とする。

B を n×p 行列とする。

rankA=n とする。

rankB=n とする。

いま、A は左逆行列 L をもち、B は右逆行列 R をもつ。(※B8)

このとき、RL は AB の一般逆行列である。

証明

AB(RL)AB=A(BR)(LA)B=AB である。

C4 ( 一般逆行列は必ず存在する )

任意の行列は、少なくとも1つの一般逆行列をもつ。

証明

A は m×n 行列とする。

A=O の場合、明らかに、任意の n×m 行列は A の一般逆行列である。

A≠O の場合について考える。

いま、ある最大列階数行列 B と、最大行階数行列 C が存在して、A=BC となる。(l※C2)

よって、A は一般逆行列をもつ。(※C3)

C5

A を正則行列とする。

A の逆行列は、一般逆行列である。

また、A はそれ以外に一般逆行列をもたない。

証明

を一般逆行列とする。

=A−1AAAA−1=A−1AA−1=A−1 である。